Bulanık Mantık

BM-412 sınav çalışma belgesi. Hafta 1–2, Hafta 3–4 ve Hafta 5–6'nın 35. sayfasına kadarı.

Bir kişi ne zaman “uzun” olur?

Kural “180 cm üstü uzundur” derse 179 cm uzun sayılmaz. Bulanık küme bu ani sınırı dereceye çevirir.

0keskin üyelik0bulanık üyelik

Boy179 cm

Hafta 1–2: Giriş

TarihçeH1–2 s.3–8

1965Zadeh, bulanık küme kuramı (Berkeley)
MamdaniBuhar türbini hız denetimi (Londra)
Çimentoİlk önemli endüstriyel uygulama (Danimarkalı firma, FLC)
1987Hitachi, Sendai Metrosu (durma 3 kat iyi, enerji %10 az)
1989LLFE laboratuvarı (Japonya, 51 firma)

Bilim insanı sayısında Çin, uygulamada Japonya önde.

Klasik mantık ve bulanık mantıkH1–2 s.10–16

Klasik mantıkta iki değer var; bulanık mantıkta 0 ile 1 arasındaki her değer.

Klasik: Ya doğru ya yanlış. Üçüncü durum imkânsız sayılır, adı paradoks.
Bulanık: Yaklaşımsal muhakemenin mantığı.
İki belirleyici özellik: sözel ya da [0,1] doğruluk değerleri; yaklaşık çıkarım kuralları.
Bulanık doğruluk sıradan doğruluktan daha genel, uygulama alanı daha geniş.

Bulanıklık mı, olasılık mı?H1–2 s.17–21

Şişe örneği: Etiket açılınca üyelik derecesi aynı kalır, olasılık 0 olur.

Bulanıklık

Olay hangi dereceye kadar var?

Deterministik (gerekirlik). Değeri sabittir. Benzerlik derecesidir.

"Hava %30 serin"

Olasılık

Olay olacak mı?

Stokastik (tahminsel). Olaydan sonra değişebilir. Olma sıklığıdır.

"Hava %30 olasılıkla serin olacak"

ParadokslarH1–2 s.22–25

(a) Üçüncü değer yeterli: μ(a) = 1 − μ(~a) ve μ(a) = μ(~a) ise ikisi de 1/2. Bu grup daha tehlikeli.

(b) Üçten fazla değer gerekir: Yığın (Sorites), kel adam (Falakros). Geçiş derecelidir.

Paradoks: hem doğru hem yanlış, ya da ne doğru ne yanlış.
Mantıksal sistem ya paradokstan kaçınır ya da ona doğruluk değeri verir. Bulanık mantık değer verir.

Belirsizliğin türleriH1–2 s.26–33

Tahminsel (stochastic)

Olay iyi tanımlı; belirsiz olan olup olmayacağı. Olasılık teorisiyle işlenir.

Sözcüksel (lexical)

Kelimenin kendisi belirsiz: "uzun adam", "sıcak gün", "yüksek enflasyon". Subjektif kategorilemedir.

"Bu yıl muhtemelen başarılı bir finansal yıl geçireceğiz": Olay açık tanımlı değil, olasılık da sayısal değil, algıya dayalı.

Hafta 3–4: Bulanık kümeler

Keskin küme, bulanık kümeH3–4 s.7–19

Parçaların %75'i ABD'de yapılmış araba: iki kümede de var, yerli sayılır.

Keskin küme üç yolla tanımlanır: listeleme, kural, üyelik (μ: x → {0,1}, ayrım fonksiyonu).
Bulanık küme: μ: U → [0,1]. Keskin kümenin genelleştirilmiş hali.
Bir eleman farklı derecelerle birden fazla kümede olabilir.
Üyelikler toplamı 1 olmak zorunda değil: 0.9 + 0.25.
%50 – %50 üyelik: maksimum bulanıklık, paradoks.

GösterimlerH3–4 s.20–26

0.8üyelik derecesi

/ayraç, bölme değil

3eleman

F = {(u, μ_F(u)) | u ∈ U}Ayrık: F = Σ μ_F(u_i)/u_iSürekli: F = ∫_U μ_F(u)/u

"+" toplama, "∫" integral değil: İkisi de "bu elemanların hepsi" demektir.

OrtaBüyük

Orta = 0.4/3 + 0.8/4 + 1/5 + 0.8/6 + 0.4/7, Büyük = 0.2/5 + 0.4/6 + 0.7/7 + 0.9/8 + 1/9 + 1/10

Sözel değişkenlerH3–4 s.27–29

Temsili çizim. x = 300 değeri hem "zayıf" hem "düşük" kümesinde, farklı derecelerle.

Değeri sayı değil, kelime ya da cümle.
Sözel değişken: basınç. Terimler kümesi: T(basınç) = {zayıf, düşük, orta, güçlü, yüksek}.
Her terim, U = [100, 2300] psi içinde bir bulanık kümedir.

Üyelik fonksiyonlarıH3–4 s.30–36

Üçgen

0u < a(u−a)/(b−a)a ≤ u ≤ b(c−u)/(c−b)b ≤ u ≤ c0u > c

Yamuk

(u−a)/(b−a)a ≤ u < b1b ≤ u ≤ c(d−u)/(d−c)c < u ≤ d0dışında

S

2[(u−a)/(c−a)]²a ≤ u ≤ b1−2[(u−c)/(c−a)]²b ≤ u ≤ c0 / 1u<a / u>c

π

S(u; c−b, c−b/2, c)u ≤ c1−S(u; c, c+b/2, c+b)u ≥ c

Tanımlama iki yolla olur: sayısal (0.1/2 + 0.4/3 + …) ya da fonksiyonel (f(x) = 1/(1+(x−5)²)).
Standartlar: s, π, üçgen, yamuk, üstel, Gausyen. En yaygınları üçgen, yamuk, parçalı doğrusal.
S fonksiyonunda b, a ile c'nin ortasıdır, bu yüzden S(b) = 0.5. π'de tepe c, genişlik b.

Genel nüfus: boy (m)

Basketbolcular: boy (m)

Üyelik fonksiyonu çevreye bağlıdır (çizimler temsili). Eskiden tecrübeyle seçilirdi, bugün eniyileme ile düzenlenir.

Kendin dene: üyelik fonksiyonu

TerminolojiH3–4 s.37–39

Terimler bir arada

α0.7

Terim	Koşul	Not
Destek	μ > 0	Sıfır olmayan her yer
Çekirdek	μ = 1	Yüksekliği 1 değilse boştur
Geçiş noktası	μ = 0.5
Yükseklik	max μ	1 ise küme normaldir
α-kesim	μ ≥ α	Eşitlik dahil
Bulanık teklik	\|destek\| = 1	Singleton
Normalizasyon	μ / max μ	Tepeyi 1'e çıkarır

Bulanık teklik

Normalizasyon

Keskin işlemler ve kanunlarH3–4 s.41–50, s.57–59

Birleşme A ∪ B → max

Kesişme A ∩ B → min

Tümleme A → 1 − μ

Kanun	İfade	Bulanıkta
Ayrıcalıklı orta (Aristotelian)	A ∪ A = X	✗ geçersiz
Zıtlık / çelişme (Aristotelian)	A ∩ A = ∅	✗ geçersiz
De Morgan	A∩B = A ∪ B	✓
Değişme, birleşme, dağılma	A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)	✓

Keskin: A ve tümleyeni çakışmaz, her yeri kaplar

Bulanık A ∪ A ≠ U

Bulanık A ∩ A ≠ ∅

Keskin ve bulanık küme kuramı arasındaki fark tam olarak bu iki kanundur.

Temel bulanık işlemlerH3–4 s.51–56

Birleşim: üstteki eğri (max)

Kesişim: alttaki eğri (min)

Tümleyen: 1 − μ

Kapsama A ⊆ B: her noktada μ_A ≤ μ_B

Kural

A ∪ B: maxA ∩ B: minA: 1 − μA = B: her yerde eşitA ⊆ B: her yerde ≤

Üyelik fonksiyonunu değiştiren işlemlerH3–4 s.60–63

CON (derişme): μ². Daraltır

DIL (genişleme): √μ. Genişletir

INT (yoğunlaşma): Keskinleştirir

Kuvvet: A^p = μ^pμ = 0.6 → CON 0.36DIL 0.775INT 0.68

Kesikli çizgi asıl küme. INT, 0.5'in üstünü artırır, altını azaltır; 0, 0.5 ve 1 değişmez.

t-norm ve t-conormH3–4 s.65–71

Kendin dene: aynı iki değer, sekiz operatör

μ_A(u)0.5

μ_B(u)0.9

Güçlü çarpım0

Sınırlı çarpım0.4

Cebirsel çarpım0.45

min0.5

max0.9

Cebirsel toplam0.95

Sınırlı toplam1

Güçlü toplam1

Turuncular t-norm (kesişme), yeşiller t-conorm (birleşme). Sıralama her zaman böyle: güçlü çarpım en küçük, güçlü toplam en büyük.

t-norm (kesişme)	Formül	t-conorm (birleşme)	Formül
min	min(a, b)	max	max(a, b)
Cebirsel çarpım	a·b	Cebirsel toplam	a + b − a·b
Sınırlı çarpım	max(0, a+b−1)	Sınırlı toplam	min(1, a+b)
Güçlü çarpım	biri 1 ise öteki, yoksa 0	Güçlü toplam	biri 0 ise öteki, yoksa 1

Mühendislikte: kesişme için min veya cebirsel çarpım, birleşme için max, tümleme için 1 − μ.

Hafta 5–6: Bulanık ilişkiler (s.1–35)

Kartezyen çarpım ve keskin ilişkiH5–6 s.3–12

X×Y'nin 9 elemanı; dolu olanlar "evlilik" ilişkisi R.

Aynı ilişkinin ok diyagramı

|A| = m, |B| = n ise |A×B| = m·n.
Keskin ilişki R ⊂ U×V: μ_R(x,y) ∈ {0, 1}, ilişkinin varlığı ya da yokluğu.
Üç gösterim: tablo, ilişkisel matris, ok diyagramı.

Kararlılık ilişkisi (Örnek-3)

	y1 sol	y2 jω	y3 sağ
x1 değişen	0	0	0
x2 değişmeyen	1	1	0

Kararlı: zamanla değişmeyen, kutupları sol yarı düzlemde ya da jω ekseninde.

Bulanık ilişkilerH5–6 s.13–20

İnsan–spor ilişkisi: renk koyulaştıkça üyelik artar

	Futbol	Hokey	Basketbol	Tenis
Ahmet	0	0.8	0.7	0
Bahadır	1	0	0.3	0
Cem	0	0.9	0	0.6

Ok kalınlığı = üyelik derecesi

Bulanık ilişki, U×V çarpım uzayında bir bulanık kümedir: μ_R(x,y) ∈ [0,1].
n-li ilişki U₁×…×U_n'in bulanık alt kümesi; genellikle n = 2.
Örnekler: "x y'den daha büyüktür", "y x'e çok yakındır".

"Hedef x hedef y'ye yakın": μ = max[(5 − |x−y|)/5, 0]

Aynı çarpım uzayında işlemlerH5–6 s.21–25

R ∪ S: maxR ∩ S: minR: 1 − μR ⊂ S: μ_R ≤ μ_S

"x y'den büyük ve y x'e çok yakın": min[μ_DB(x,y), μ_ÇY(y,x)]. ÇY matrisinin satırları y, sütunları x; önce çevir.

μ_DB(x,y)

	y1	y2	y3	y4
x1	0.8	1	0.1	0.7
x2	0	0.8	0	0
x3	0.9	1	0.7	0.8

min

μ_ÇY(y,x): y4 satırı, x3 sütunu

	x1	x2	x3
y1	0.4	0.9	0.3
y2	0	0.4	0
y3	0.9	0.5	0.8
y4	0.6	0.7	0.5

Sonuç: (x3, y4) = min(0.8, 0.5) = 0.5

	y1	y2	y3	y4
x1	0.4	0	0.1	0.6
x2	0	0.4	0	0
x3	0.3	0	0.7	0.5

Sonuçta yalnızca (x1, y4) ve (x3, y3) 0.5'ten büyük; cümle geri kalan çiftler için düşük güven gösterir.

Farklı çarpım uzayında bileşimH5–6 s.26–35

Keskin bileşim: x1 → y4 → z3 yolu var, bu yüzden R3(x1, z3) = 1.

R3 = R1 ∘ R2

	z1	z2	z3	z4
x1	0	0	1	1
x2	1	0	0	0
x3	1	1	1	0

(x, z) ∈ R ancak ve ancak arada en az bir y ile yol varsa.
Keskin ilişkide max-min ve max-çarpım aynı sonucu verir.

max-min: max_y min(μ_P(x,y), μ_Q(y,z))max-çarpım: max_y μ_P(x,y)·μ_Q(y,z)Kestirme: çarpma → min (ya da çarpım), toplama → maxSup-star: sup_y[μ_R ★ μ_S], ★ bir t-norm

Ayrık kümelerde sup işlemi max'tır. En çok kullanılanlar sup-min ve sup-çarpım.

Kendin dene: sonuç matrisinde bir hücreye tıkla

P(U,V)

	y1	y2
x1	0.4	0.9
x2	0.7	0.2

∘

Q(V,W)

	z1	z2	z3
y1	0.5	0.8	0.1
y2	0.6	0.3	0.7

R(U,W)

	z1	z2	z3
x1	0	0	0
x2	0	0	0

Ek: soruda çıkan, işlenmeyen konular

Denetleyici ve durulaştırmaişlenen notlarda yok

Bu bölüm H1–2, H3–4 ve H5–6 s.1–35 içinde yok. Örnek sorularda (A-3, B-3, B-5, B-14…B-21, B-26) çıktığı için eklendi. Sınava dahil mi, hocana sor.

Bilgi tabanı = veri tabanı + kural tabanı. Kural tabanı geçmiş deneyimi tutar. Durulaştırıcıya berraklaştırıcı da denir.

Örnek çıkış kümesi: En büyük üyelik 4 ile 6 arasında.

Yöntem	Hesap
Ağırlıklı ortalama	Σ(yükseklik · merkez) / Σ yükseklik
Mean-Max	En büyüklerin ortası
Toplamların merkezi	Σ(alan · merkez) / Σ alan
İlk / son en büyük	En büyüğün ilk / son noktası
En büyük alan merkezi	Alanı en büyük parçanın merkezi
Ağırlık merkezi	∫μ·x dx / ∫μ dx

Sık yapılan hatalar

min ile maxmin t-norm (kesişme), max t-conorm (birleşme). "Max-min" ise bileşim yöntemi.

α-kesimμ ≥ α. Üyeliği tam α olan eleman da dahil.

CON ile DILCON = μ² küçültür, DIL = √μ büyütür. Derişme CON, yoğunlaşma INT.

Yükseklik ile çekirdekYükseklik en büyük μ değeri. Çekirdek μ = 1 olan elemanlar.

Tümleyen çizgisiA ∩ Ḡ sorusunda önce 1 − μ, sonra min.

Güçlü işlemlerGüçlü çarpım: biri 1 değilse 0. Güçlü toplam: biri 0 değilse 1.

sup(μA)Örnek sorularda "destek" (support) anlamında; bileşimdeki sup ile karıştırma.

μ(y,x) matrisiSatırlar y, sütunlar x. (x_i, y_j) için (j, i) hücresi okunur.

KapsamaBütün elemanlarda ≤ olmalı. Kümeler birbirini kapsamıyor da olabilir.

Notlardaki yazım hatalarını göster

H1–2 s.5: Başvuru 1987, izin "dokuz yıl" sonra ama 1986 sonu yazıyor. Tarihler tutarsız.
H3–4 s.38: Metin "α'dan büyük" diyor, formül ≥. Formülü esas al.
H3–4 s.46: "[μA(x)=1, μA(x)=0]" içindeki ikinci terim μB(x)=0 olmalı.
H3–4 s.62: μ_DIL(U) yerine μ_DIL(A) olmalı.
H3–4 s.67: Sınırlı toplam metninde "cebirsel toplamı" yazıyor.
H3–4 s.69: Sınırlı çarpımda kapanış parantezi eksik.
H5–6 s.22: Kapsama formülünde μ_R üzerinde tümleyen çizgisi olmamalı.
H5–6 s.32: "Q(U,V) ve P(V,W)" yazısında harfler yer değiştirmiş; s.26'da P(U,V), Q(V,W).

Örnek sorular: Set A

Fotoğraftaki birinci kağıt. Çözümlerde senin işaretin ve doğru olup olmadığı da var.

A-1

Aşağıdaki tanımlamalardan hang[...]
Fotoğrafın sağ tarafı kesik; yalnızca görünen kısımlar yazıldı. Tam metin için B-6'ya bak.

a)İnsanın bir problemi çözümleme[...]
b)İnsan beyninin özelliklerinden [...] gibi yetenekleri taklit eden ma[...]
c)Canlıların gen davranışlarını m[...]
d)İnsanın bir problemi çözümle[...]
e)Doğadaki canlıların içgüdüse[...]

Çözümü göster

Doğru cevap: a veya dSenin işaretin: b ✗

Soru büyük olasılıkla B-6 ile aynıdır: "Bulanık Mantığı en iyi şekilde açıklayan tanım". Doğru tanım "İnsanın bir problemi çözümlemedeki sezgisel bakışı ve muhakemesini temel alan matematiksel bir yaklaşımdır" cümlesidir. Bu cümle a ya da d şıkkındadır; ikisi de aynı kelimelerle başladığı için fotoğraftan ayırt edilemiyor.

Senin işaretlediğin b, insan beyninin öğrenme yeteneğini taklit eden yaklaşımı anlatır; bu tanım yapay sinir ağlarına uyar. c ve e de başka doğadan esinli yöntemleri tarif ediyor.

Fotoğraf kesik: a ile d'nin hangisi olduğunu kendi kağıdından kontrol et.

Kaynak: H1–2 s.32–33

A-2

Bulanık mantığı biçimsel ol[...]
Fotoğrafın sağ tarafı kesik; soru ve şıkların çoğu görünmüyor. İşaretlediğin şık C.

a)İki değerli mantık.
b)Kes[...]
c)[görünmüyor]
d)[görünmüyor]
e)[görünmüyor]

Çözümü göster

Doğru cevap: doğrulanamadıSenin işaretin: c (doğrulanamadı)

Metin görünmediği için kesin cevap veremiyorum. Soru büyük olasılıkla "Bulanık mantık biçimsel olarak hangi tür mantıktır?" şeklindedir. Beklenen cevap çok değerli mantık olur, çünkü doğruluk iki değerle sınırlı değildir, [0,1] aralığındaki sonsuz değeri alır.

C şıkkı "çok değerli mantık" ise işaretin doğrudur.

Fotoğraf kesik: bu soru karneye dahil edilmedi.

Kaynak: H1–2 s.14–16

A-3

Bulanık Mantığın gerçek dünya problemine uygulanmasındaki işlem adımları aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak sıralanmıştır?

I- Olaylarla ilgili geçmişe dayalı bilgi birikimini temsil eden sözel cümlecikler ya da kuralların oluşturulması
II- Sözel çıkarım sonucunun sayısal forma dönüştürülmesi
III- Gerçel verilerin dilsel (sözel) terimler haline dönüştürülmesi
IV- Sözel hale dönüştürülen veriler ve geçmiş deneyimlere göre bir sözel çıkarım sonucunun elde edilmesi

a)I – III – IV – II
b)I – II – III – IV
c)III – I – IV – II
d)I – III – II – IV
e)III – I – II – IV

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: b ✗

Kurallar (I)Geçmiş bilgi sözel kurallara dökülür
Bulanıklaştırma (III)Gerçek veri sözel terimlere çevrilir
Çıkarım (IV)Veri ve kurallardan sözel sonuç
Durulaştırma (II)Sözel sonuç sayıya çevrilir

Adımlar: önce kurallar oluşturulur (I), sonra gerçek veri sözel hale getirilir (III), veri ve kurallardan sözel sonuç çıkarılır (IV), son olarak bu sonuç sayısala çevrilir (II).

II her zaman sonda olmalıdır, çünkü sözel sonuç oluşmadan sayısala çevrilemez. Bu yüzden senin işaretlediğin I–II–III–IV olamaz.

Güven orta: II'nin sonda olması kesin. I ile III'ün yeri tartışılabilir; denetleyici blok şemasındaki sırayla düşünülürse III–I–IV–II de savunulabilir. Kural tabanı önceden hazırlandığı için I–III–IV–II seçildi.

Kaynak: İşlenen notlarda yok

A-4

Geleneksel küme teorisi aynı zamanda ________ teorisi olarak da bilinir.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelebilecek doğru cevap aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

a)Tek değerli küme
b)Konvansiyonel küme
c)Temel küme
d)Çok değerli küme
e)Keskin küme

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: c ✗

Notlarda geleneksel kümeler keskin küme (crisp set) diye geçer: Her eleman ya kümenin içindedir ya da değildir. "Temel küme" diye bir terim yoktur.

Kaynak: H3–4 s.7, s.15

A-5

Geleneksel kümelerin doğruluk değerleri ________ iken, bulanık kümelerin doğruluk değerleri ________ değişmektedir.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelebilecek doğru cevaplar aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

a)0 veya 1, 0 ve 1 aralığında
b)0 ve 1 aralığında, 0 veya 1
c)0 ve 1 aralığında, reel sayılar olarak
d)0 ile 1 aralığında, 0 ile 1 aralığında
e)0 veya 1, 0 veya 1 aralığında

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: a ✓

Keskin kümede üyelik {0, 1} kümesindedir, bulanık kümede [0, 1] aralığındadır.

Kaynak: H1–2 s.14, H3–4 s.10, s.16

A-6

Klasik mantıkta, 'doğru' ya da 'yanlış' dışında kalan üçüncü bir durumun gerçekleşmesinin ________ olduğu varsayılır ve bu tür durumlar ________ olarak adlandırılır.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelebilecek doğru cevaplar aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

a)mümkün / paradoks
b)imkânsız / ikilem
c)mümkün / ikilem
d)olası / paradoks
e)imkânsız / paradoks

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: e ✓

Notlardaki cümlenin aynısı: "Üçüncü bir durumun gerçekleşmesinin imkansız olduğu varsayılır, ve çoğu zaman bu tür durumlar 'paradoks' olarak adlandırılır."

Kaynak: H1–2 s.14

A-7

Bulanık Doğruluk kavramı ile ilgili aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?

I- Sıradan doğruluk kuramının özel bir formudur.
II- Belirsizlikleri derecelendirerek değerlendirir.
III- Uygulama alanı sıradan doğruluğa göre daha geniştir.
IV- Belirsizliğin ortaya koyduğu problemleri ile uğraşmak için doğal bir yol sağlar.
V- Problemlerde tümevarımsal sonuçların çıkarılmasına önemli katkılar sağlar.

a)I-III-IV
b)II-III-IV
c)II-IV-V
d)II-III-V
e)I-II-IV

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: b ✓

I yanlıştır: Bulanık doğruluk sıradan doğruluktan daha geneldir, onun özel hali değildir. V yanlıştır: Notlar bulanık mantığın tümevarımsal mantıklardan belirgin şekilde ayrıldığını söyler. II, III ve IV doğrudur.

Kaynak: H1–2 s.13, s.16

A-8

Belirsizlikleri şansa bağlı belirsizlikler olarak kabul eden teori aşağıdakilerden hangisidir?

a)Olasılık teorisi
b)Olabilirlik teorisi
c)Bulanık küme teorisi
d)Rassalsallık teorisi
e)Karar teorisi

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: b ✗

Şansa bağlı (tahminsel, stokastik) belirsizlikte olay iyi tanımlıdır, belirsiz olan olayın olup olmayacağıdır. Bu, olasılık teorisinin konusudur.

Kaynak: H1–2 s.17, s.26

A-9

A: Bugün Ali'nin Bizim takımda oynama ihtimali %90'dır. B: Bugün Ali Bizim takımda %90 oranında oynayacaktır.
Yukarıda verilen iki olayın değerlendirmesi aşağıda verilen seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)A olayı bulanıklık, B olayı Olasılık kapsamında değerlendirilebilir.
b)A olayı Rassallık, B olayı Olasılık kapsamında değerlendirilebilir.
c)A olayı Olasılık, B olayı Bulanıklık kapsamında değerlendirilebilir.
d)A olayı bulanıklık, B olayı Rassalsallık kapsamında değerlendirilebilir.
e)A olayı Rassallık, B olayı Karar teorisi kapsamında değerlendirilebilir.

Çözümü göster

Doğru cevap: cSenin işaretin: d ✗

A cümlesi Ali'nin oynayıp oynamayacağını sorar: olasılık. B cümlesi oynayacağını kabul eder ve "ne dereceye kadar" olduğunu söyler: bulanıklık. Notlardaki "hava %30 olasılıkla serin olacak" ile "hava %30 serin" ayrımının aynısıdır.

Kaynak: H1–2 s.17–18

A-10

Aşağıda verilen seçeneklerin hangisinde Bulanıklığı Olasılıktan ayıran bir ifade yer almaz?

a)Bulanıklık olaydaki belirsizliği, olasılık, olayın oluşundaki kesin olmayışlığı ifade eder.
b)Bulanıklık olayın hangi dereceye kadar olduğunu, olasılık olayın olup olmama ihtimalini ölçer.
c)Bulanıklık, genel olarak gerekirliğin, olasılık ise tahminselliğin bir ölçüsüdür.
d)Bulanıklık karar teorisine göre, olasılık ise Rassallık teorisine göre hesaplanan bir ölçüdür.
e)Bulanıklığın sayıları olarak üyelik dereceleri bir olayın hangi dereceye kadar olabilme ihtimalini, olasılığın sayıları ise bir olayın ne dereceye kadar olduğunu gösterir.

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: c ✗

a, b ve c doğrudan notlardaki ayrımlardır; senin işaretlediğin c, "bulanıklık gerekirlik (deterministik), olasılık tahminsel (stokastik)" cümlesidir. "Karar teorisi" ve "rassallık teorisi" karşılaştırması ise notlarda geçmez, doğru bir ayrım da değildir.

e şıkkında da roller ters yazılmış: Notlara göre "ne dereceye kadar olduğunu" üyelik derecesi gösterir. Yani iki şık da sorunlu; amaçlanan cevap büyük olasılıkla d'dir.

Kaynak: H1–2 s.17–18

A-11

Bulanık mantıkta girdilerin kümeye ait olma değerleri hangi ifade ile açıklanır?

a)ayrık değerler
b)küme değerleri
c)doğruluk değerleri
d)olasılık değerleri
e)sahiplik değerleri

Çözümü göster

Doğru cevap: cSenin işaretin: e ✗

Şıklarda "üyelik" kelimesi yok. Bulanık mantıkta bir değerin kümeye ait olma derecesi, ilgili önermenin doğruluk derecesi olarak yorumlanır: "x sıcaktır" önermesinin doğruluğu, x'in "sıcak" kümesine üyeliğidir. Soru, İngilizce kaynaklardaki "The values of the set membership is represented by: Degree of truth" sorusunun çevirisine benziyor. "Sahiplik" notlarda geçmez.

Bu ifade notlarda birebir geçmiyor; cevap İngilizce soru kaynağı ve s.14'teki doğruluk tanımına dayanıyor.

Kaynak: H1–2 s.14

A-12

Aşağıdakilerden hangisi bulanık kümelerde kullanılan operatörlerden değildir?

a)VE
b)VEYA
c)TOPLAM
d)ÇARPIM
e)DEĞİL

Çözümü göster

Doğru cevap: cSenin işaretin: e ✗

VE (min), VEYA (max) ve DEĞİL (1−μ) temel operatörlerdir. ÇARPIM, mühendislikte kesişme için kullanılan cebirsel çarpımdır (s.71). Sade toplam μ_A+μ_B ise 1'i aşabileceği için üyelik fonksiyonu vermez. Senin işaretlediğin DEĞİL, tümleme işlemidir ve kesinlikle bir operatördür.

Güven orta: Notlarda "cebirsel toplam" ve "sınırlı toplam" var (s.66–67). Soru yalnızca sade "TOPLAM" dediği için c seçildi; soru gevşek yazılmış.

Kaynak: H3–4 s.54–56, s.66, s.71

A-13

Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir bulanık kümedir?

I. A = {x | 6 ≤ x ≤ 24, x ∈ X}
II. A = {(x1, 0.5), (x2, 0.4), (x3, 0.75), (x4, 0.9)}
III. A = {Spicy, Sweet, Bland, Bitter, Tasteless}

a)I
b)II
c)III
d)II-III
e)I-II

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: d ✗

I: Kuralla tanımlı. Üyelik 0 ya da 1: keskin.

II: Her elemanın bir derecesi var: bulanık.

SpicySweetBlandBitterTasteless

III: Yalnızca etiket listesi, derece yok: keskin.

Bulanık kümede her elemanın bir üyelik derecesi olmalıdır. I kural metoduyla yazılmış keskin kümedir. II (eleman, üyelik) çiftlerinden oluşur, bulanıktır. III yalnızca etiket listesidir, üyelik derecesi yoktur; listeleme metoduyla yazılmış keskin kümedir.

Kaynak: H3–4 s.8–10, s.20

A-14

Bulanık küme teorisinde X' in her bir öğesi, 0 ile 1 arasındaki bir değere eşlenir. Buna onun ________ denir.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelebilecek doğru cevap aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

a)üyelik değeri
b)üyelik derecesi
c)kapsama derecesi
d)Hem 'a' hem de 'b'
e)Hem 'b' hem de 'c'

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: b ✗

Notlar iki terimi de aynı anlamda kullanır: "üyelik değerleri [0-1] aralığındadır" (s.16), "üyelik derecesi 0'dan büyük olan elemanlar" (s.37). "Kapsama" ise iki küme arasındaki ilişkidir (s.53).

Kaynak: H3–4 s.16, s.20, s.37

A-15

Aşağıdakilerden hangisi bulanık mantıkta üyelik fonksiyonlarının seçiminde kullanılacak bir kriter olamaz?

a)Giriş ve çıkış değişkenlerinin sayısı
b)Giriş ve çıkış değişkenlerinin karakteristikleri
c)Uygulamanın yapıldığı ortamın karakteristikleri
d)Uygulamanın karakteristikleri
e)Uygulamanın performansı

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: e ✗

Üyelik fonksiyonunun şekli değişkenin ne olduğuna, ortama (s.35) ve uygulamaya bağlıdır. Günümüzde eniyileme ile düzenlendiği için performans da bir ölçüttür (s.36). Değişkenlerin sayısı ise fonksiyonun şeklini belirlemez.

Güven orta: Soru notlarda doğrudan yok, cevap s.35–36'dan çıkarıldı.

Kaynak: H3–4 s.35–36

A-16

A = {0.0/1 + 0.3/2 + 0.6/3 + 0.9/4 + 0.8/5 + 0.5/6 + 0.3/7 + 0.2/8} bulanık kümesinin tümleyeni aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)A = {0.5/1 + 0.8/2 + 0.1/3 + 0.4/4 + 0.3/5 + 0.0/6 + 0.8/7 + 0.7/8}
b)A = {0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1.0/4 + 0.9/5 + 0.6/6 + 0.4/7 + 0.3/8}
c)A = {1.0/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 0.1/4 + 0.4/5 + 0.5/6 + 0.7/7 + 0.9/8}
d)A = {1.0/1 + 0.7/2 + 0.4/3 + 0.1/4 + 0.2/5 + 0.5/6 + 0.7/7 + 0.8/8}
e)A = {0.0/1 + 0.5/2 + 0.1/3 + 0.7/4 + 0.9/5 + 0.5/6 + 0.6/7 + 0.5/8}

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: d ✓

μ1 − μ

Her sütunun toplamı 1. Üstteki sayı tümleyen.

Her eleman için 1−μ alınır: 1−0.0=1.0, 1−0.3=0.7, 1−0.6=0.4, 1−0.9=0.1, 1−0.8=0.2, 1−0.5=0.5, 1−0.3=0.7, 1−0.2=0.8.

Kaynak: H3–4 s.56

A-17

Aşağıda verilen operatörlerden hangisi bir t-conorm operatörüdür?

a)Güçlü çarpım
b)min
c)max-min
d)Sınırlı toplam
e)Cebirsel Çarpım

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: b ✗

t-norm: kesişme (VE)

Güçlü çarpımSınırlı çarpımCebirsel çarpımmin

t-conorm: birleşme (VEYA)

maxCebirsel toplamSınırlı toplamGüçlü toplam

t-conorm birleşme operatörüdür: max, cebirsel toplam, sınırlı toplam, güçlü toplam. min, cebirsel çarpım ve güçlü çarpım t-norm'dur. max-min ise bir bileşim yöntemidir.

Kaynak: H3–4 s.65–70

A-18

A = {0.0/1 + 0.3/2 + 0.6/3 + 0.9/4 + 0.8/5 + 0.5/6 + 0.3/7 + 0.2/8}
G = {0.4/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.3/4 + 0.6/5 + 0.9/6 + 1.0/7 + 0.5/8}
Yukarıda verilen iki küme için A ∩ G işlemini standart (Zadeh'in) bulanık kesişim operatörünü kullanarak elde ediniz?

a)A ∩ G = {0.4/1 + 0.8/2 + 0.3/3 + 0.9/4 + 0.6/5 + 0.5/6 + 1.0/7 + 0.5/8}
b)A ∩ G = {0.0/1 + 0.2/2 + 0.5/3 + 0.7/4 + 0.4/5 + 0.1/6 + 0.0/7 + 0.2/8}
c)A ∩ G = {0.0/1 + 0.3/2 + 0.5/3 + 0.3/4 + 0.6/5 + 0.5/6 + 0.3/7 + 0.2/8}
d)A ∩ G = {0.0/1 + 0.3/2 + 0.2/3 + 0.9/4 + 0.3/5 + 0.8/6 + 0.0/7 + 0.4/8}
e)A ∩ G = {0.6/1 + 0.3/2 + 0.6/3 + 0.9/4 + 0.8/5 + 0.5/6 + 0.3/7 + 0.5/8}

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: b ✓

AGA ∩ G

Her elemanda iki noktadan alttaki alınır (min). Halka ve alttaki sayılar sonucu gösterir.

x	1	2	3	4	5	6	7	8
μ_A	0	0.3	0.6	0.9	0.8	0.5	0.3	0.2
μ_G	0.4	0.8	0.5	0.3	0.6	0.9	1	0.5
1−μ_G	0.6	0.2	0.5	0.7	0.4	0.1	0	0.5
min	0	0.2	0.5	0.7	0.4	0.1	0	0.2

Tuzak: Tümleyen çizgisini görmezsen A∩G bulunur, bu da c şıkkıdır.

Kaynak: H3–4 s.55–56

A-19

Aşağıda verilen operatörlerden hangisi bir t–norm operatörü değildir?

a)max
b)min
c)Sınırlı çarpım
d)Güçlü çarpım
e)Çarpım

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: b ✗

t-norm: kesişme (VE)

Güçlü çarpımSınırlı çarpımCebirsel çarpımmin

t-conorm: birleşme (VEYA)

maxCebirsel toplamSınırlı toplamGüçlü toplam

t-norm kesişme operatörüdür: min, cebirsel çarpım, sınırlı çarpım, güçlü çarpım. max ise birleşme yani t-conorm operatörüdür. Senin işaretlediğin min, en temel t-norm'dur.

Kaynak: H3–4 s.65–71

A-20

A = {1/1 + 0.75/2 + 1/3 + 0.25/4} B = {0.5/1 + 1/2 + 0.5/3 + 1/4}
Yukarıda verilen iki küme için A ∪ B işlemini standart (Zadeh'in) bulanık bileşim operatörünü kullanarak elde ediniz?

a)A ∪ B = {1/1 + 0.25/2 + 1/3 + 0.75/4}
b)A ∪ B = {0.5/1 + 0.75/2 + 0.5/3 + 0.25/4}
c)A ∪ B = {0.5/1 + 0.75/2 + 0.5/3 + 0.75/4}
d)A ∪ B = {0.45/1 + 0.5/2 + 0.7/3 + 0.25/4}
e)A ∪ B = {1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4}

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: a ✗

ABA ∪ B

Her elemanda üstteki nokta alınır (max). Hepsi 1.

Her eleman için max alınır: max(1, 0.5)=1, max(0.75, 1)=1, max(1, 0.5)=1, max(0.25, 1)=1.

Kaynak: H3–4 s.54

A-21

A ve B, X evreninde tanımlı iki bulanık küme olsun.
X = {1, 5, 10, 15, 20}; A = {0.0/1 + 0.2/5 + 0.4/10 + 0.8/15 + 0.6/20}; B = {0.1/1 + 0.3/5 + 0.5/10 + 1/15 + 0.7/20}
A ve B bulanık kümelerini birbiri ile kıyasladığınızda karşılaştırma sonucu ne olur?

a)A = B
b)A ⊃ B
c)A ≤ B
d)A ⊂ B
e)A ⊇ B

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: d ✓

Bütün elemanlarda A noktası B noktasının altında: A ⊂ B.

Bütün elemanlarda μ_A < μ_B: 0<0.1, 0.2<0.3, 0.4<0.5, 0.8<1, 0.6<0.7. Yani A, B'nin alt kümesidir.

Kaynak: H3–4 s.53

A-22

Yanda "araba hız" uzayında tanımlanmış bulanık kümeler verilmiştir. Verilen "orta" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak tanımlanmıştır?

a)μ_orta(v) = (v−30)/5050 ≤ v < 80(110−v)/8080 ≤ v ≤ 110
b)μ_orta(v) = v/3050 ≤ v < 80(80−v)/3080 ≤ v ≤ 110
c)μ_orta(v) = (v−50)/3050 ≤ v < 80(110−v)/3080 ≤ v ≤ 110
d)μ_orta(v) = v/8050 ≤ v < 80(v−80)/11080 ≤ v ≤ 110
e)μ_orta(v) = (v−50)/5050 ≤ v < 80(80−v)/8080 ≤ v ≤ 110

Çözümü göster

Doğru cevap: cSenin işaretin: c ✓

"orta" kümesinin iki kenarı ayrı ayrı yazılır.

"orta" kümesi a=50, b=80, c=110 olan üçgendir. Yükselen kenar (v−50)/(80−50), inen kenar (110−v)/(110−80). Kontrol: v=50 için 0, v=80 için 1, v=110 için 0.

Kaynak: H3–4 s.33

A-23

Yanda "araç gücü seviye" uzayında tanımlanmış bulanık kümeler verilmiştir. %40 güce sahip bir aracın dilsel olarak nasıl ve hangi üyelik derecesi yada dereceleri ile temsil edildiğini gösteren doğru seçenek aşağıdakilerden hangisidir?

a)Çok Güçlü – 0.4, Az Güçlü – 0.6
b)Güçlü – 0.6, Çok Güçlü – 0.4
c)Az Güçlü – 0.6, Güçlü – 0.4
d)Güçlü – 0.4, Çok Güçlü – 0.6
e)Az Güçlü – 0.4, Güçlü – 0.6

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: e ✓

%40'ta Güçlü 0.6 (yükselen kenar), Az Güçlü 0.4 (inen kenar).

Grafikten: Az Güçlü 25'ten 50'ye iner, Güçlü (25, 50, 75) üçgenidir, Çok Güçlü 50'den sonra başlar.

Az Güçlü(40) = (50−40)/25 = 0.4
Güçlü(40) = (40−25)/25 = 0.6
Çok Güçlü(40) = 0

Kontrol: x=70 için Çok Güçlü 0.8, Güçlü 0.2 çıkar; grafikteki kesikli çizgilerle uyuşur.

Kaynak: H3–4 s.29, s.33

A-24

"DURU" ve "KİRLİ" ve "BULANIK" bulanık kümeleri için tanımlanan üyelik fonksiyonları aşağıda verilmiştir.

μ_DURU(x) = (3+x)/3−3 ≤ x < 0(3−x)/30 ≤ x ≤ 3μ_BULANIK(x) = (x−3)/33 ≤ x < 6(9−x)/36 ≤ x ≤ 9μ_KİRLİ(x) = x/30 ≤ x < 3(6−x)/33 ≤ x ≤ 6

x = 2.55 reel değerine karşılık gelen sözel ifade(ler) aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir.

a)DURU – BULANIK
b)DURU – KİRLİ
c)Sadece DURU
d)KİRLİ – BULANIK
e)Sadece BULANIK

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: b ✓

x = 2.55: KİRLİ 0.85, DURU 0.15. BULANIK 3'ten önce başlamadığı için 0.

DURU(2.55) = (3−2.55)/3 = 0.15 > 0. KİRLİ(2.55) = 2.55/3 = 0.85 > 0. BULANIK yalnızca x ≥ 3 için tanımlı, yani 0.

Kaynak: H3–4 s.33

A-25

Klasik kümeler ve Bulanık kümeler ile ilgili işlemler incelendiğinde iki özellik dışında tüm işlemlerin bire bir uyuştuğunu görebiliriz. Klasik kümelerde olan, bulanık kümelerde olmayan bu iki özelliği temsil eden kanunlar hangi isimle anılır?

a)Aristotelian
b)De Morgan
c)Dağılma
d)Birleşme
e)Tümleme

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: a ✓

Keskin: A ve tümleyeni çakışmaz, her yeri kaplar

Bulanık A ∪ A ≠ U

Bulanık A ∩ A ≠ ∅

Ayrıcalıklı orta kanunu (A∪A=X) ve zıtlık kanunu (A∩A=∅) Aristotelian kanunlardır, bulanık kümelerde geçerli değildir.

Kaynak: H3–4 s.48, s.59

A-26

Bulanık küme teorisinin altında yatan temel düşünce aşağıdaki seçeneklerin hangisinde en doğru bir şekilde ifade edilmiştir?

a)Her öğe, yalnızca bir kümeye ait olabilir.
b)Elemanları kümelere belirli bir hususa dayalı olarak ait kılmalarıdır.
c)Elemanları kümelere 0 yada 1 aidatlıkları ile dahil etmeleridir.
d)Elemanları genel hatları ile değerlendirerek kümelere ait kılmalarıdır.
e)Elemanların kümelere olan aidatlıklarını 0-1 aralığında derecelendirmeleridir.

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: e ✓

Bulanık küme, her elemanın üyeliğinin derecelendirilebildiği keskin kümenin genelleştirilmiş halidir. a ve c keskin kümeyi tarif eder.

Kaynak: H3–4 s.16

A-27

U evreninde tanımlanmış A bulanık kümesi için üyelik fonksiyonu aşağıda verilmiştir. A' nın destek kümesinin üyelik fonksiyonu (sup(μA)) için doğru seçenek aşağıdakilerden hangisidir?

μA(x) = 0x ≤ 3(x−3)3 < x ≤ 4−0.5(x−6)4 < x < 60x ≥ 6

a)sup(μA(x)) = −0.5(x−6)4 < x < 60x ≥ 6
b)sup(μA(x)) = (x−3)3 < x ≤ 4−0.5(x−6)4 < x < 6
c)sup(μA(x)) = ((x−1)/2)1 < x ≤ 3(x−3)3 < x < 4
d)sup(μA(x)) = 0x ≤ 3(x−3)3 < x ≤ 4
e)sup(μA(x)) = (x−3)3 < x ≤ 4(x−4)4 < x < 6

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: b ✓

Uçlarda μ = 0 olduğu için 3 ve 6 desteğe dahil değil (açık uç).

Destek kümesi μ > 0 olan bölgedir. Fonksiyon yalnızca 3 < x < 6 aralığında sıfırdan büyüktür, bu yüzden 0 olan parçalar atılır. Buradaki "sup", support (destek) anlamındadır.

Kaynak: H3–4 s.37

A-28

X evreninde tanımlanmış B bulanık kümesi için üyelik fonksiyonu aşağıda verilmiştir. B' nin çekirdek kümesinin üyelik fonksiyonu (core(μB)) için doğru seçenek aşağıdakilerden hangisidir?

μB(x) = 0x ≤ 1(x−1)/31 < x ≤ 4(x−4)/44 < x < 80x ≥ 8

a)core(μB(x)) = (x−4)/44 < x < 80x ≥ 8
b)core(μB(x)) = 0x ≤ 1(x−1)/31 < x ≤ 4
c)core(μB(x)) = {(x−3)/3, x = 6}
d)core(μB(x)) = {(x−4)/4, x = 8}
e)core(μB(x)) = {(x−1)/3, x = 4}

Çözümü göster

Doğru cevap: eSenin işaretin: d ✗

Kesikli çizgi basılı ikinci parça. İki durumda da μ = 1 yalnızca x = 4'te.

Çekirdek, μ = 1 olan noktalardır. x = 4 için (4−1)/3 = 1. Senin işaretlediğin x = 8 olamaz, çünkü fonksiyonun son satırına göre x ≥ 8 için μ = 0.

Basılı fonksiyonda büyük olasılıkla hata var: 4 < x < 8 parçası (8−x)/4 olmalıydı, yoksa fonksiyon x=4'ten sonra 0'a düşüp yeniden yükseliyor. İki durumda da cevap aynı: x = 4.

Kaynak: H3–4 s.39

A-29

V evreninde tanımlanmış C bulanık kümesi için üyelik fonksiyonu aşağıda verilmiştir. C' nin 0.7 alfa kesim kümesinin üyelik fonksiyonu (μC_0.7-cut) için doğru seçenek aşağıdakilerden hangisidir?

μC(x) = 0x ≤ 0x/30 < x ≤ 3(x−3)/43 < x < 70x ≥ 7

a)μC_0.7-cut(x) = (x−3)/43 < x < 70x ≥ 7
b)μC_0.7-cut(x) = x/30 < x ≤ 3(x−3)/43 < x < 7
c)μC_0.7-cut(x) = x/32.1 ≤ x ≤ 3(x−3)/45.1 ≤ x < 7
d)μC_0.7-cut(x) = 0x ≤ 0x/30 < x ≤ 3
e)μC_0.7-cut(x) = x/32.1 ≤ x ≤ 3(x−4)/33 < x < 7

Çözümü göster

Doğru cevap: cSenin işaretin: a ✗

Kalın aralıklar: μ ≥ 0.7 olan bölgeler, [2.1, 3] ve [5.8, 7). c şıkkındaki 5.1 bu yüzden hatalı.

Her parçada μ ≥ 0.7 çözülür:

x/3 ≥ 0.7 ise x ≥ 2.1, yani 2.1 ≤ x ≤ 3
(x−3)/4 ≥ 0.7 ise x ≥ 5.8, yani 5.8 ≤ x < 7

Yapısı bu sonuca uyan tek şık c'dir.

Şıkta hata var: c'deki sınır 5.1 yazıyor ama doğrusu 5.8. 5.1, (x−3)/3 = 0.7 denkleminden çıkıyor; muhtemelen sorunun başka bir sürümünden kalmış. Yine de amaçlanan cevap c.

Kaynak: H3–4 s.38

A-30

Aşağıdaki ifadelerden hangisi bulanık mantıkta doğruluk değeri olarak kabul edilemez?

a)0
b)0.25
c)0.5
d)[Kağıtta karalanmış, okunamıyor]

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: d ✓

Doğruluk değerleri [0, 1] aralığındadır. 0, 0.25 ve 0.5 bu aralıktadır, dolayısıyla cevap geriye kalan, aralığın dışındaki şıktır.

Şıkkın değeri okunamıyor ama diğer üç şık geçerli olduğu için cevap kesin. Senin karaladığın şık da bu görünüyor.

Kaynak: H1–2 s.14

A-31

Bulanık mantıkta, "çok sıcak" teriminin üyelik fonksiyonu 1'e yakınsa, bu ne anlama gelir?

a)Nesne oldukça sıcak.
b)Nesne sıcak değil.
c)Nesne soğuk.
d)Nesne çok soğuk.
e)Nesne tam ortada bir sıcaklık değeri taşır.

Çözümü göster

Doğru cevap: aSenin işaretin: a ✓

Üyelik derecesinin 1'e yakın olması, elemanın o kümeye güçlü biçimde ait olduğunu gösterir.

Kaynak: H3–4 s.16

A-32

X evreninde tanımlanmış D bulanık kümesi için üyelik fonksiyonu aşağıda verilmiştir. D' nin yüksekliği hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?

μD(x) = 0x ≤ 1(x−1)/31 < x ≤ 4(x−4)/44 < x < 80x ≥ 8

a){0.4/2}
b){1/4}
c){0.75/7}
d){0.5/6}
e){0/8}

Çözümü göster

Doğru cevap: bSenin işaretin: c ✗

En büyük üyelik 1, x = 4 noktasında.

Yükseklik, ulaşılan en büyük üyelik değeridir. x = 4 için (4−1)/3 = 1, daha büyüğü olamaz. Senin işaretlediğin 0.75/7 gerçek bir nokta (μ(7) = 0.75) ama en büyük değer değil.

A-28'deki fonksiyonun aynısı; aynı baskı hatası burada da var. Cevap değişmiyor.

Kaynak: H3–4 s.39

A-33

Bulanık kümelerde "soğuk" ve "sıcak" terimleri arasındaki geçişin yumuşak olmasını sağlamak için hangi tür üyelik fonksiyonu kullanılır?

a)Keskin fonksiyon
b)Doğrusal fonksiyon
c)Belirsiz fonksiyon
d)Yumuşak fonksiyon
e)Kuantum fonksiyonu

Çözümü göster

Doğru cevap: dSenin işaretin: d ✓

Keskin fonksiyon ani sınır oluşturur. Bulanık kümelerde amaç üyeliğin dereceli değişmesidir, yani yumuşak geçiş. Notlardaki Sorites örneği de geçişin birden değil dereceli olduğunu anlatır.

Kaynak: H1–2 s.25, H3–4 s.15–17

Set A karnesini göster

15 doğru, 17 yanlış, 1 doğrulanamadı. A-3, A-10, A-11, A-12 ve A-15 notlarda net olmadığı için bu sayıyı yaklaşık kabul et.

Her satır: senin işaretin → doğru cevap.

A-1b → a veya d✗

A-2c → doğrulanamadı?

A-3b → a✗

A-4c → e✗

A-5a → a✓

A-6e → e✓

A-7b → b✓

A-8b → a✗

A-9d → c✗

A-10c → d✗

A-11e → c✗

A-12e → c✗

A-13d → b✗

A-14b → d✗

A-15e → a✗

A-16d → d✓

A-17b → d✗

A-18b → b✓

A-19b → a✗

A-20a → e✗

A-21d → d✓

A-22c → c✓

A-23e → e✓

A-24b → b✓

A-25a → a✓

A-26e → e✓

A-27b → b✓

A-28d → e✗

A-29a → c✗

A-30d → d✓

A-31a → a✓

A-32c → b✗

A-33d → d✓

Örnek sorular: Set B

Fotoğraftaki "SORULAR" başlıklı ikinci kağıt. Bu kağıtta işaretleme yok.

B-1

Bulanık doğruluk kavramı ile ilgili aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?
I- Sıradan doğruluk kuramının özel bir formudur. II- Belirsizlikleri derecelendirerek değerlendirir. III- Uygulama alanı sıradan doğruluğa göre daha geniştir, IV- Belirsizliğin ortaya koyduğu problemleri ile uğraşmak için doğal bir yol sağlar. V- Problemlerde tümevarımsal sonuçların çıkarılmasına önemli katkılar sağlar.

a)I-III-IV
b)II-III-IV
c)II-III-V
d)II-IV-V

Çözümü göster

Doğru cevap: b

A-7 ile aynı soru. I yanlış: Bulanık doğruluk daha geneldir. V yanlış: Bulanık mantık tümevarımsal mantıklardan ayrılır.

Kaynak: H1–2 s.13, s.16

B-2

Keskin kümelerin doğruluk değerleri ________ iken, bulanık kümelerin doğruluk değerleri ________ değişmektedir.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelebilecek doğru cevaplar aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir?

a)0 ile 1 aralığında, 0 ile 1 aralığında
b)0 veya 1, 0 ve 1 aralığında
c)0 ve 1 aralığında, 0 veya 1
d)0 veya 1, 0 veya 1 aralığında

Çözümü göster

Doğru cevap: b

A-5 ile aynı soru, şık sırası farklı.

Kaynak: H1–2 s.14

B-3

Bulanık mantık denetleyicilerinde dış dünyadan gelen keskin değerleri alarak sözel etiketlerini veren ve bu etiketlere olan üyelik derecelerini belirleyen birim aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)Çıkarım motoru
b)Berraklaştırıcı
c)Bulanıklaştırıcı
d)Durulaştırıcı

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Keskin giriş → sözel etiket + üyelik derecesi dönüşümünü bulanıklaştırıcı yapar. Berraklaştırıcı ile durulaştırıcı aynı birimdir ve ters yönde çalışır.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-4

Farklı çarpım uzaylarında P(U, V) ve Q(V, W) olarak verilen iki bulanık ilişkinin birleşimi aşağıdaki notasyonların hangisi ile gösterilir?

a)R(U, W) = P(U, V) • Q(V, W)
b)R(U, W) = P(U, V) ∘ Q(V, W)
c)R(U, W) = P(U, V) ⊙ Q(V, W)
d)R(U, W) = P(U, V) ⊛ Q(V, W)

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Bileşim operatörü küçük halkadır (∘). Soru kökündeki "birleşim" kelimesi burada bileşim (composition) anlamındadır.

Kaynak: H5–6 s.26

B-5

Bulanık Mantığın gerçek dünya problemine uygulanmasındaki işlem adımları aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak sıralanmıştır?

I- Olaylarla ilgili geçmişe dayalı bilgi birikimini temsil eden sözel cümlecikler ya da kuralların oluşturulması
II- Sözel çıkarım sonucunun sayısal forma dönüştürülmesi
III- Reel verilerin dilsel (sözel) terimler haline dönüştürülmesi
IV- Sözel hale dönüştürülen veriler ve geçmiş deneyimlere göre bir sözel çıkarım sonucunun elde edilmesi

a)I – III – IV – II
b)III – I – IV – II
c)I – III – II – IV
d)III – I – II – IV

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Kurallar (I)Geçmiş bilgi sözel kurallara dökülür
Bulanıklaştırma (III)Gerçek veri sözel terimlere çevrilir
Çıkarım (IV)Veri ve kurallardan sözel sonuç
Durulaştırma (II)Sözel sonuç sayıya çevrilir

A-3 ile aynı soru. Sıra: kuralları oluştur (I), veriyi sözele çevir (III), sözel sonucu çıkar (IV), sayısala çevir (II).

Güven orta: II'nin sonda olması kesin. Şık b (III–I–IV–II) de blok şemasına göre savunulabilir.

Kaynak: İşlenen notlarda yok

B-6

Aşağıdaki tanımlamalardan hangisi Bulanık Mantığı en iyi şekilde açıklar?

a)İnsan beyninin özelliklerinden olan öğrenme yolu ile yeni bilgiler türetebilme, yeni bilgiler oluşturabilme ve keşfedebilme gibi yetenekleri taklit eden matematiksel bir yaklaşımdır.
b)İnsanın bir problemi çözümlemedeki sezgisel bakışı ve muhakemesini temel alan matematiksel bir yaklaşımdır.
c)İnsanın bir problemi çözümlemedeki sezgisel bakış açısı ile öğrenme yeteneklerini bileştiren matematiksel bir yaklaşımdır.
d)Yukarıdakilerin Hiçbiri

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Bulanık mantık yaklaşımsal muhakemenin mantığıdır ve insanın karar verme sürecini algoritmik biçimde temsil eder. Öğrenme, bulanık mantığın değil yapay sinir ağlarının özelliğidir; a bu yüzden elenir, c ise bulanık mantıkla öğrenmeyi birleştiren melez yöntemleri tarif eder.

Kaynak: H1–2 s.15, s.33

B-7

"Oda sıcaktır" cümlesindeki "sıcak" dilsel değişkeni aşağıdakilerin hangisi ile temsil edilebilir?

a)Bulanık küme
b)Bulanık ve Keskin küme
c)Keskin Küme
d)Klasik Küme

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Temsili çizim: "sıcak" keskin bir sınır yerine dereceli bir küme.

"Sıcak" belirsizlik içeren bir sözcüktür, keskin sınırı yoktur. Sözel terimler bulanık kümelerle tanımlanır.

Kaynak: H1–2 s.12, H3–4 s.28

B-8

" A " normal bir bulanık küme ise bu kümenin yüksekliği (h(A)) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)h(A) = 1
b)h(A) < 0
c)h(A) = 0
d)h(A) < 1

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Yüksekliği 1 olan küme normal bulanık küme olarak adlandırılır.

Kaynak: H3–4 s.39

B-9

Bulanık küme teorisini ortaya atan bilim adamı aşağıdakilerden hangisidir?

a)Peter Marinos
b)Lotfi Zadeh
c)Claude Shannon
d)Walter Pits

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Bulanık küme kuramı 1965'te Prof. Lütfi A. Zadeh tarafından ortaya atılmıştır.

Kaynak: H1–2 s.3

Soru 10–13 için: X ve Y uzaylarında tanımlı üçgen tip bulanık alt kümeler sırasıyla sol, tepe ve sağ tanım parametrelerine bağlı olarak aşağıdaki gibi verilmektedirler. Bu bulanık alt kümeler A(a,b,c) örneğinde olduğu gibi yandaki bağıntı ile ifade edilebilmektedirler.

Dx(6, 6, 12), Nx(6, 12, 18), Yx(12, 18, 18) Dy(3, 3, 7), Ny(3, 7, 11), Yy(7, 11, 11)

μ_A(x) = (|x|−|a|)/(|b|−|a|)a ≤ x ≤ b ise(|c|−|x|)/(|c|−|b|)b ≤ x ≤ c ise

B-10

X ve Y uzaylarının tanım aralıkları aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)X: 3-11, Y: 6-18
b)X: 6-11, Y: 3-18
c)X: 6-12, Y: 3-7
d)X: 6-18, Y: 3-11

Çözümü göster

Doğru cevap: d

X uzayı: 6 – 18

Y uzayı: 3 – 11

X'te en küçük parametre 6, en büyük 18. Y'de en küçük 3, en büyük 11.

Kaynak: H3–4 s.33

B-11

I- X ve Y Uzaylarında üç bulanık alt küme kullanılmıştır.
II- Nx∩Ny bulanık alt kümesinin sağ tanım parametresi 11'dir.
III- Nx∪Ny bulanık alt kümesinin sol tanım parametresi 3'tür.
X ve Y uzaylarında tanımlanan bulanık alt kümeler için yukarıdaki tanımlardan hangisi(leri) doğrudur?

a)Yalnız I
b)I-II
c)I-II-III
d)II-III

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Dolu alan kesişim (min), kesikli çizgi birleşim (max).

I doğru: Her uzayda D, N, Y olmak üzere üç küme vardır.

Nx (6, 12, 18) ve Ny (3, 7, 11) aynı eksende düşünülür:

Kesişim, ikisinin de sıfırdan büyük olduğu [6, 11] aralığındadır. Sağ parametre 11, II doğru.
Birleşim, en az birinin sıfırdan büyük olduğu [3, 18] aralığındadır. Sol parametre 3, III doğru.

Kaynak: H3–4 s.54–55

B-12

x = 10 keskin girişi hangi sözel etiket(ler) ile temsil edilir ve aidatlık derecesi(leri) ne olur?

a)Dx: 0.25, Nx: 0.75
b)Nx: 0.55, Yx: 0.45
c)Dx: 0.33, Nx: 0.66
d)Dx: 0.5, Nx: 0.5

Çözümü göster

Doğru cevap: c

x = 10: Dx'in inen, Nx'in yükselen kenarı.

x = 10, Dx'in inen kenarında: (12−10)/(12−6) = 2/6 = 0.33. Nx'in yükselen kenarında: (10−6)/(12−6) = 4/6 = 0.66. Yx ise 12'den başlar, 0'dır.

Kaynak: H3–4 s.33

B-13

y = 10 keskin girişi hangi sözel etiket(ler) ile temsil edilir ve aidatlık derecesi(leri) ne olur?

a)Ny: 0.25, Yy: 0.75
b)Dy: 0.33, Ny: 0.66
c)Dy: 0.45, Yy: 0.55
d)Ny: 0.5, Yy: 0.5

Çözümü göster

Doğru cevap: a

y = 10: Ny'nin inen, Yy'nin yükselen kenarı.

y = 10, Ny'nin inen kenarında: (11−10)/(11−7) = 0.25. Yy'nin yükselen kenarında: (10−7)/(11−7) = 0.75. Dy 7'de biter, 0'dır.

Kaynak: H3–4 s.33

Soru 14–19 için Şekil 1: Yükseklikleri 0.3, 0.5 ve 1 olan üç yamuktan oluşan bulanık çıkarım sonucu. Şekildeki 1–7 numaraları alan bölgeleridir.

B-14

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri ağırlıklı ortalama (Weighted Average) metodu ile elde ediniz?

a)5.146
b)5.237
c)4.784
d)4.325

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Her yamuk yüksekliği kadar ağırlıkla merkezinden katılır.

Her yamuğun yüksekliği ve merkezi: (0.3; 2.5), (0.5; 5), (1; 6.5).

x* = (0.3·2.5 + 0.5·5 + 1·6.5) / (0.3 + 0.5 + 1) = 9.75 / 1.8 = 5.4167

Şıklarda hata var: Doğru sonuç 5.4167 ve hiçbir şık bunu vermiyor. En güçlü ihtimal 5.416'nın rakamları yer değiştirerek 5.146 yazılmış olması, bu yüzden a seçildi.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-15

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri en büyüklerin ortalaması (Mean-Max) metodu ile elde ediniz?

a)4.3
b)6.5
c)5.7
d)7.4

Çözümü göster

Doğru cevap: b

En büyük üyelik (1) 6 ile 7 arasında; ortası 6.5.

En büyük üyelik (1) [6, 7] aralığında görülür. Ortası (6 + 7)/2 = 6.5.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-16

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri toplamların merkezi (Center of Sums) metodu ile elde ediniz?

a)4.7
b)5.6
c)5
d)5.3

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Alanlar ayrı ayrı sayılır; üst üste binen kısımlar iki kez girer.

Yamuk alanı = yükseklik · (alt taban + üst taban)/2:

A1 = 0.3 · (5 + 3)/2 = 1.2, merkez 2.5
A2 = 0.5 · (4 + 2)/2 = 1.5, merkez 5
A3 = 1 · (3 + 1)/2 = 2, merkez 6.5

x* = (1.2·2.5 + 1.5·5 + 2·6.5) / (1.2 + 1.5 + 2) = 23.5 / 4.7 = 5

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-17

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri ilk en büyük (First of maxima) üyelik derecesi metodu ile elde ediniz?

Çözümü göster

Doğru cevap: c

En büyük üyelik 1'dir ve ilk kez x = 6'da görülür.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-18

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri son en büyük (Last of maxima) üyelik derecesi metodu ile elde ediniz?

Çözümü göster

Doğru cevap: d

En büyük üyelik 1'in görüldüğü son nokta x = 7'dir.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-19

Şekil 1 verilen bulanık çıkarım sonucundan durulaştırılmış değeri en büyük alan merkezi (Centre of Largest Area) metodu ile elde ediniz?

a)5.5
b)5
c)6
d)6.5

Çözümü göster

Doğru cevap: d

En büyük alan üçüncü yamuğun (2).

Alanlar 1.2, 1.5 ve 2 olduğundan en büyük parça üçüncü yamuktur. [5, 8] üzerinde simetrik olduğu için merkezi 6.5.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-20

Bulanık mantık denetleyicisini oluşturan bileşenler aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)ADC-İşlem birimi-DAC-Hareketlendirici
b)Kelime işlemci-Kural üreteci-Çıkarım motoru-Berraklaştırıcı
c)Bulanıklaştırıcı-Bilgi tabanı-Çıkarım motoru-Durulaştırıcı
d)Berraklaştırıcı-Kural tabanı-Çıkarım motoru-Durulaştırıcı

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Dört temel bileşen: bulanıklaştırıcı, bilgi tabanı, çıkarım motoru, durulaştırıcı. d şıkkında berraklaştırıcı ile durulaştırıcı aynı birimdir, bulanıklaştırıcı ise eksiktir.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-21

Bulanık mantık denetleyicilerinde problemin tanımı ile ilgili geçmiş deneyimleri temsil eden birim aşağıdakilerden hangisidir?

a)Veri Tabanı
b)Kural tabanı
c)Durulaştırıcı
d)Çıkarım motoru

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Geçmiş deneyim "Eğer … ise …" kuralları olarak kural tabanında tutulur.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-22

A = {0.0/1 + 0.3/2 + 0.6/3 + 0.9/4 + 0.8/5 + 0.5/6 + 0.3/7 + 0.2/8} bulanık kümesinin tümleyeni aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)A = {0.5/1 + 0.8/2 + 0.1/3 + 0.4/4 + 0.3/5 + 0.0/6 + 0.8/7 + 0.7/8}
b)A = {0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1.0/4 + 0.9/5 + 0.6/6 + 0.4/7 + 0.3/8}
c)A = {1.0/1 + 0.7/2 + 0.4/3 + 0.1/4 + 0.2/5 + 0.5/6 + 0.7/7 + 0.8/8}
d)A = {0.0/1 + 0.5/2 + 0.1/3 + 0.7/4 + 0.9/5 + 0.5/6 + 0.6/7 + 0.5/8}

Çözümü göster

Doğru cevap: c

μ1 − μ

Her sütunun toplamı 1. Üstteki sayı tümleyen.

A-16 ile aynı küme. Her eleman için 1−μ alınır.

Kaynak: H3–4 s.56

B-23

X ve Y U evreninde tanımlanmış iki bulanık kümeyi ve R ise X ve Y kümeleri arasındaki ikili ilişkiyi göstersin (R: X→Y). X = {0.9/x1 + 0.7/x2} ve Y = {0.7/y1 + 0.8/y2} olduğuna göre R ilişkisinin gösterimi hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?

a)
y1 y2
x1 0.7 0.8
x2 0.7 0.7
b)
y1 y2
x1 0.9 0.7
x2 0.7 0.8
c)
y1 y2
x1 0.8 0.9
x2 0.7 0.8
d)
y1 y2
x1 0.8 0.9
x2 0.9 0.8

	y1	y2
x1	0.7	0.8
x2	0.7	0.7

	y1	y2
x1	0.9	0.7
x2	0.7	0.8

	y1	y2
x1	0.8	0.9
x2	0.7	0.8

	y1	y2
x1	0.8	0.9
x2	0.9	0.8

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Her hücre: min(satır, sütun)

	y1 (0.7)	y2 (0.8)
x1 (0.9)	0.7	0.8
x2 (0.7)	0.7	0.7

İki bulanık kümeden ilişki, kartezyen çarpımda min ile kurulur: μ_R(x, y) = min(μ_X(x), μ_Y(y)).

min(0.9, 0.7) = 0.7 min(0.9, 0.8) = 0.8
min(0.7, 0.7) = 0.7 min(0.7, 0.8) = 0.7

Bu formül işlenen kısımda açıkça verilmiyor; H5–6 s.3 yalnızca keskin kartezyen çarpımı anlatıyor. Çözüm standart min t-norm kullanımına dayanıyor.

Kaynak: H5–6 s.21–23 (min t-norm)

B-24

Aşağıdaki şekilde Y' den Z' ye bir bulanık ilişkinin ok diyagramı gösterilmiştir. Bu ilişkinin matrisel formda gösterimini doğru bir şekilde gösteren seçenek aşağıdakilerden hangisidir?

a)
z1 z2 z3 z4 z5
y1 0.8 0 0.5 0.4 0
y2 0 0.3 0.9 0 0
y3 0.6 1 0 0.5 0
b)
z1 z2 z3 z4 z5
y1 0.6 0.8 0 0 0
y2 0.3 0 0 1 0
y3 0.5 0 0 0.9 0
c)
z1 z2 z3 z4 z5
y1 0.3 0 0 0.4 0
y2 0 0.5 0 0 0.9
y3 0.8 0.6 1 0 0
d)
z1 z2 z3 z4 z5
y1 0.4 0 0 0.3 0
y2 0.8 0.6 1 0 0
y3 0 0.5 0 0 0.9

	z1	z2	z3	z4
y1	0.8	0	0.5	0.4
y2	0	0.3	0.9	0
y3	0.6	1	0	0.5

	z1	z2	z4
y1	0.6	0.8	0
y2	0.3	0	1
y3	0.5	0	0.9

	z1	z2	z3	z4	z5
y1	0.3	0	0	0.4	0
y2	0	0.5	0	0	0.9
y3	0.8	0.6	1	0	0

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Ok olmayan hücreler 0

	z1	z2	z3	z4	z5
y1	0.4	0	0	0.3	0
y2	0.8	0.6	1	0	0
y3	0	0.5	0	0	0.9

Oklar: y1→z1 (0.4), y1→z4 (0.3), y2→z1 (0.8), y2→z2 (0.6), y2→z3 (1), y3→z2 (0.5), y3→z5 (0.9). Ok olmayan hücreler 0'dır.

Kaynak: H5–6 s.19–20

B-25

P ve Q farklı uzaylarda verilen bulanık ilişki matrisini göstermektedir. İki ilişkinin bileşiminden elde edilecek R: U→W bulanık ilişkisinin sonucunu "max-prod" metodu ile bulunuz?

P(u, v) =

0.2	0.6
0.8	0.7

; Q(v, w) =

0.1	0.8	0.5
0.9	0.6	0.3

a)
0.6 0.6 0.3
0.7 0.8 0.5
b)
0.54 0.36 0.18
0.63 0.64 0.40
c)
0.5 0.6 0.9
0.6 0.4 0.5
d)
0.56 0.54 0.28
0.71 0.96 0.61

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Her hücrede iki yolun çarpımı yazılı; vurgulu olan büyüğü (max).

	w1	w2	w3
u1	0.020.54	0.160.36	0.10.18
u2	0.080.63	0.640.42	0.40.21

R11 = max(0.2·0.1, 0.6·0.9) = max(0.02, 0.54) = 0.54
R12 = max(0.2·0.8, 0.6·0.6) = max(0.16, 0.36) = 0.36
R13 = max(0.2·0.5, 0.6·0.3) = max(0.10, 0.18) = 0.18
R21 = max(0.8·0.1, 0.7·0.9) = max(0.08, 0.63) = 0.63
R22 = max(0.8·0.8, 0.7·0.6) = max(0.64, 0.42) = 0.64
R23 = max(0.8·0.5, 0.7·0.3) = max(0.40, 0.21) = 0.40

Tuzak: a şıkkı aynı matrislerin max-min sonucudur.

Kaynak: H5–6 s.29, s.32

B-26

Bulanık mantık denetleyicilerinde "Durulaştırıcı" nın görevi aşağıdaki seçeneklerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

a)Bulanık çıkarım sonucunu keskin değere dönüştürür.
b)Aktif olan kuralları bileştirerek yeni çıkarımlar üretir.
c)Keskin değerleri sözel ifadelere dönüştürür.
d)Sözel etiketleri Kurallar ile kıyaslayarak aktif kuralları belirler.

Çözümü göster

Doğru cevap: a

b ve d çıkarım motorunun, c bulanıklaştırıcının görevidir.

Kaynak: İşlenen notlarda yok (bkz. 1.19)

B-27

Bulanık mantıkta bir ilişki üzerinde yapılan "maksimum-minimum" operasyonu hangi amaca hizmet eder?

a)İlişkilerin doğruluk değerlerini en üst düzeye çıkarmak
b)Öğeler arasındaki üyelik derecelerinin birleşimini sağlamak
c)İlişkiyi doğrusal hale getirmek
d)Öğeler arasındaki en yüksek ilişkiyi ve en düşük ilişkiyi belirlemek

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Örnek: Her yol için min, sonra yolların max'ı.

Max-min bir bileşim işlemidir: Her ara eleman üzerinden min alır, sonra bunların max'ıyla iki ilişkinin üyelik derecelerini birleştirip tek bir ilişki üretir. d şıkkı yanıltıcıdır; işlem en yüksek ve en düşük ilişkiyi bulmak için yapılmaz.

Soru metni gevşek yazılmış; b en uygun şıktır.

Kaynak: H5–6 s.29

B-28

R bulanık ilişkisi için, aşağıdaki eşitlik verilmiştir.
Eğer μ_R(x, y) = 0.7 ve μ_R(y, z) = 0.5 ise, μ_R(x, z)'yi hesaplamak için hangi işlem uygulanır?

a)μ_R(x, z) = μ_R(x, y) × μ_R(y, z)
b)μ_R(x, z) = min(μ_R(x, y), μ_R(y, z))
c)μ_R(x, z) = max(μ_R(x, y), μ_R(y, z))
d)μ_R(x, z) = μ_R(x, y) + μ_R(y, z)

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Tek ara eleman olduğu için max etkisiz, sonuç min.

Standart max-min bileşiminde tek ara eleman varsa max işlemi etkisizdir, geriye min kalır: min(0.7, 0.5) = 0.5.

a (max-çarpım) da tanımlı bir yöntemdir, ama soru yöntem belirtmediği için standart olan max-min esas alındı.

Kaynak: H5–6 s.29

B-29

Bulanık mantık, hangi kavramı kesin mantıktan farklı kılar?

a)Değişkenlerin doğruluğu
b)Belirsizlik ve kısmi doğruluk
c)Mantıksal çıkarımlar
d)Sayısal hesaplamalar

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Klasik mantık belirsizlikle ilgilenmez. Bulanık mantık kısmi (dereceli) doğruluğa izin verir.

Kaynak: H1–2 s.13–14

B-30

Bulanık mantığın en önemli avantajlarından biri nedir?
Fotoğrafta c ve d şıklarının başı parmakla kapanmış.

a)Kesin sonuçlar üretmesi
b)İnsan düşüncesine daha yakın sonuçlar vermesi
c)[...] evet veya hayır türünde kararlar vermesi
d)[...] süresinin çok kısa olması

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Bulanık mantık insanın karar verme ve değerlendirme süreçlerini temsil eder. Kesin sonuç ve evet/hayır kararları klasik mantığın özelliğidir.

Kaynak: H1–2 s.32–33

Set B cevap anahtarını göster

1-b 2-b 3-c 4-b 5-a 6-b 7-a 8-a 9-b 10-d 11-c 12-c 13-a 14-a 15-b 16-c 17-c 18-d 19-d 20-c 21-b 22-c 23-a 24-d 25-b 26-a 27-b 28-b 29-b 30-b

Yeni sorular

Örnek soruların tarzında, işlenen konulardan. Sayısal cevaplar kodla doğrulandı, her sorunun tek doğru cevabı var.

Hafta 1–2: Temel kavramlar

Y-1

Aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi yanlıştır?

a)Lütfi A. Zadeh – 1965'te bulanık küme kuramını ortaya attı
b)Hitachi – Sendai Metrosu'ndaki trenlerin otomatik denetimini önerdi
c)Danimarkalı bir firma – çimento üretiminde bulanık mantık denetleyicisi kullandı
d)LLFE laboratuvarı – 1989'da Amerika Birleşik Devletleri'nde kuruldu
e)Mamdani – kuramı buhar türbini hız denetimine uyguladı

Çözümü göster

Doğru cevap: d

LLFE, 1989'da Japonya'da kurulmuştur. Yabancı firmalar da katılmıştır (IBM, NCR, Thomson) ama laboratuvar Japonya'dadır.

Kaynak: H1–2 s.3–7

Y-2

Bulanık mantığı tanımlamanın belki de en basit yolu, ________ bir mantığı olduğunu söylemektir.
Yukarıdaki cümlede boşluğa gelecek ifade hangisidir?

a)tümevarımsal akıl yürütmenin
b)iki değerli önermelerin
c)keskin kümelerin
d)olasılık hesabının
e)yaklaşımsal muhakemenin

Çözümü göster

Doğru cevap: e

Notlardaki tanım: Bulanık mantık, yaklaşımsal muhakemenin (approximate reasoning) bir mantığıdır.

Kaynak: H1–2 s.15

Y-3

Aşağıdakilerden hangileri bulanık mantığın belirleyici özelliklerindendir?

I. Sözel olarak ifade edilen ya da [0,1] aralığında yer alan doğruluk değerlerine sahip olması
II. Geçerliliği kesin değil, yaklaşık olan çıkarım kurallarına sahip olması
III. Bir önermenin yalnızca doğru ya da yanlış olabilmesi

a)Yalnız I
b)Yalnız II
c)I-II
d)I-III
e)I-II-III

Çözümü göster

Doğru cevap: c

I ve II notlardaki iki belirleyici özelliktir. III klasik mantığın özelliğidir.

Kaynak: H1–2 s.14–15

Y-4

X bütün sıvıların, Y ise içilmesi zararsız sıvıların kümesi olsun. A şişesindeki sıvının Y'ye üyelik derecesi %91, B şişesindeki sıvının Y'ye üye olma olasılığı %91'dir. Etiketler açılınca A şişesinde çamurlu su, B şişesinde hidroklorik asit çıkıyor. Etiketler açıldıktan sonra A'nın üyelik derecesi ve B'nin olasılığı sırasıyla nedir?

a)0 ve 0
b)%91 ve %91
c)%91 ve 0
d)%100 ve 0
e)0 ve %91

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Üyelik derecesi sabittir, olay gerçekleşince değişmez: A hâlâ %91. Olasılık ise olay gerçekleştikten sonra değişir: B'nin zararsız sıvı olma olasılığı artık 0.

Kaynak: H1–2 s.19–21

Y-5

Üyelik derecesi ve olasılık ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a)Üyelik derecesi olay gerçekleştikten sonra değişir ve 0 ya da 1 olur.
b)Olasılık, olay gerçekleşmeden önce olup olmayacağı hakkında bilgi verir.
c)Üyelik derecesi benzerlik derecesini, olasılık ise olma sıklığını ifade eder.
d)Üyelik derecesi bir nesnenin bir kümeye ne derece benzediğini gösterir.
e)Bulanık kümedeki üyelik dereceleri olasılık yüzdeleriyle aynı şey değildir.

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Değişen olasılıktır. Üyelik derecesinin aldığı değer sabittir.

Kaynak: H1–2 s.18, s.21

Y-6

Bir kartın bir yüzünde "öbür yüzde yazan cümle doğrudur", diğer yüzünde "öbür yüzde yazan cümle yanlıştır" yazmaktadır. Bu paradoksta μ(a) = μ(~a) olduğuna göre, bulanık mantıkta μ(a) kaçtır?

a)0
b)0.25
c)0.5
d)0.75
e)1

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Bulanık mantıkta μ(a) = 1 − μ(~a). μ(a) = μ(~a) yazılırsa 2μ(a) = 1, yani μ(a) = 1/2. Paradoks yarı-doğruya indirgenir.

Kaynak: H1–2 s.24

Y-7

Paradokslarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a)Üçten fazla doğruluk değeri gerektiren paradokslar, üçüncü bir değerin yeterli olduğu paradokslardan daha tehlikelidir.
b)Yığın (Sorites) ve kel adam (Falakros) paradokslarında üçten fazla doğruluk değerine gereksinim duyulur.
c)Paradoks; hem doğru hem yanlış ya da ne doğru ne de yanlış doğruluk değerine sahip önermedir.
d)İki yüzlü kart paradoksunda üçüncü bir doğruluk değeri yeterlidir.
e)Bulanık mantık paradokslara doğruluk değeri verme yolunu tercih eder.

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Notlara göre tam tersi: Üçüncü değerin yeterli olduğu (a) grubu, (b) grubundan daha tehlikelidir.

Kaynak: H1–2 s.22–24

Y-8

"Hedefi vurma olasılığı %80'dir." cümlesindeki belirsizlik ile "uzun adam" ifadesindeki belirsizlik sırasıyla hangi türdendir?

a)Deterministik – tahminsel
b)Tahminsel – sözcüksel
c)Sözcüksel – tahminsel
d)Tahminsel – tahminsel
e)Sözcüksel – sözcüksel

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Tahminsel

Sözcüksel

İlk cümlede olay iyi tanımlıdır, belirsiz olan olup olmayacağıdır: tahminsel (stochastic). "Uzun" kelimesinin ise kesin tanımı yoktur: sözcüksel (lexical).

Kaynak: H1–2 s.26–27

Y-9

"Bu yıl muhtemelen başarılı bir finansal yıl geçireceğiz." cümlesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a)Cümledeki belirsizlik yalnızca tahminsel yöntemlerle işlenmelidir.
b)Olay kendi başına açıkça tanımlanmıştır.
c)Olasılık matematiksel olarak ölçülmüştür.
d)"Başarılı yıl" subjektif bir kategorilemedir; olasılık ifadesi de algılamaya dayalıdır.
e)Cümledeki tek belirsizlik olayın olup olmamasıdır.

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Başarılı yılın ölçütü şirketten şirkete değişir, yani olay açıkça tanımlı değildir. "Muhtemelen" kelimesi de sayısal bir olasılık vermez.

Kaynak: H1–2 s.29–30

Hafta 3–4: Bulanık kümeler ve üyelik fonksiyonları

Y-10

A = {x ∈ U | |x| < 3} gösterimi, keskin küme tanımlama metotlarından hangisine örnektir?

a)Listeleme
b)Kural
c)Üyelik
d)Sayısal
e)Fonksiyonel

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Elemanlar bir koşulla belirtildiği için kural metodudur. "Sayısal" ve "fonksiyonel", üyelik fonksiyonu tanımlama yollarıdır (s.31).

Kaynak: H3–4 s.8–10

Y-11

F = 0.4/2 + 0.8/3 + 1/4 + 0.8/5 + 0.4/6 bulanık kümesinde "0.8/3" teriminin anlamı nedir?

a)0.8 elemanının F kümesine üyelik derecesi 3'tür.
b)0.8 sayısının 3'e bölümüdür.
c)3 elemanının F kümesine üyelik derecesi 0.8'dir.
d)3 elemanının F kümesinde bulunma olasılığı %80'dir.
e)F kümesinin 0.8-kesiminde 3 eleman vardır.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

0.8üyelik derecesi

/ayraç

3eleman

"/" bölme, "+" toplama değildir. μ(u)/u yazımı, u elemanı ile üyelik derecesini eşleştirir.

Kaynak: H3–4 s.21, s.26

Y-12

U sürekli bir evrensel küme ise F = ∫_U μ_F(u)/u yazılır. Bu gösterimdeki ∫ işareti neyi ifade eder?

a)μ_F(u) fonksiyonunun u'ya göre belirli integralini
b)Üyelik fonksiyonu ile ilişkilendirilmiş bütün noktaların toplamını
c)Olasılık yoğunluk fonksiyonunu
d)F kümesinin tümleyenini
e)Üyelik fonksiyonunun altındaki alanı

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Notlardaki açıklama: İntegral işareti, üyelik fonksiyonu ile ilişkilendirilmiş tüm noktaların toplamını gösterir. Gerçek bir integral değildir.

Kaynak: H3–4 s.21

Y-13

Parçalarının %75'i ABD'de yapılmış bir araba için μ_D(x) = 0.9 (yerli) ve μ_F(x) = 0.25 (yabancı) bulunuyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a)Üyeliklerin toplamı 1 olmadığı için tanım hatalıdır.
b)0.9 değeri arabanın yerli olma olasılığıdır.
c)Araba yalnızca yerli arabalar kümesinin elemanıdır.
d)Araba farklı derecelerle iki kümede de yer alır ve sonuçta yerli olarak tanımlanır.
e)Araba yabancı kümesine daha yakındır.

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Bir eleman farklı üyelik dereceleriyle birden fazla kümede yer alabilir. Üyeliklerin toplamının 1 olması gerekmez (0.9 + 0.25 = 1.15).

Kaynak: H3–4 s.18–19

Y-14

Basınç sözel değişkeni için T(basınç) = {zayıf, düşük, orta, güçlü, yüksek} ve U = [100 psi, 2300 psi] veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)T(basınç) terimler kümesidir.
b)Sözel değişkenin değerleri kelime değil, yalnızca sayılardır.
c)Her terim U içinde bir bulanık küme ile tanımlanır.
d)Basınç, sözel değişkenin adıdır.
e)Ölçülen bir basınç değeri farklı derecelerle iki terimde yer alabilir.

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Temsili çizim.

Zadeh'in tanımına göre sözel değişkenlerin değeri sayı değil, kelime veya cümledir.

Kaynak: H3–4 s.27–29

Y-15

Üyelik fonksiyonlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a)Günümüzde üyelik fonksiyonları eniyileme işlemleri ile düzenlenmektedir.
b)Çokça kullanılanlar üçgen, yamuk ve parçalı doğrusal fonksiyonlardır.
c)Üyelik fonksiyonları çevreye çok bağlı olabilir.
d)Bir değişken için geçerli olabilecek tek bir üyelik fonksiyonu vardır.
e)İki ayrı kullanıcının belirlediği üyelik fonksiyonları oldukça farklı olabilir.

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Üyelik fonksiyonu tecrübe, kültür ve bakış açısına göre değişebilir. Basketbolcu için "uzun" ile genel nüfus için "uzun" aynı değildir.

Kaynak: H3–4 s.35–36

Y-16

Ü(u; 2, 6, 14) üçgen üyelik fonksiyonu için u = 4 ve u = 12 noktalarındaki üyelik dereceleri sırasıyla nedir?

a)0.33 ve 0.25
b)0.75 ve 0.25
c)0.5 ve 0.5
d)0.5 ve 0.25
e)0.25 ve 0.5

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Tepe 6'da; sol kenar 4 birim, sağ kenar 8 birim genişlikte.

u = 4 yükselen kenarda: (4−2)/(6−2) = 0.5. u = 12 inen kenarda: (14−12)/(14−6) = 0.25. Tepe merkezde olmadığı için kenar eğimleri farklıdır.

Kaynak: H3–4 s.33

Y-17

Y(u; 10, 20, 40, 60) yamuk üyelik fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)μ(55) = 0.5'tir.
b)Geçiş noktaları u = 15 ve u = 50'dir.
c)Yüksekliği 1'dir.
d)Çekirdeği 20 ≤ u ≤ 40 aralığıdır.
e)Destek kümesi 10 < u < 60 aralığıdır.

Çözümü göster

Doğru cevap: a

u = 55 inen kenardadır: (60−55)/(60−40) = 0.25. Diğer ifadeler doğrudur: (15−10)/10 = 0.5 ve (60−50)/20 = 0.5.

Kaynak: H3–4 s.33, s.37–39

Y-18

S(u; 2, 6, 10) S-üyelik fonksiyonu için u = 4 ve u = 8 noktalarındaki üyelik dereceleri sırasıyla nedir?

a)0.5 ve 0.5
b)0.125 ve 0.875
c)0.875 ve 0.125
d)0.25 ve 0.75
e)0.0625 ve 0.9375

Çözümü göster

Doğru cevap: b

S fonksiyonu b noktasına göre simetrik: 0.125 + 0.875 = 1.

u = 4 (a ≤ u ≤ b): 2[(4−2)/(10−2)]² = 2·(1/4)² = 0.125
u = 8 (b ≤ u ≤ c): 1 − 2[(8−10)/(10−2)]² = 1 − 0.125 = 0.875

Kaynak: H3–4 s.34

Y-19

π(u; 4, 10) π-üyelik fonksiyonu için u = 8, u = 10 ve u = 13 noktalarındaki üyelik dereceleri sırasıyla nedir?

a)1, 0.5 ve 0.125
b)0, 1 ve 0
c)0.5, 1 ve 0.875
d)0.5, 1 ve 0.125
e)0.125, 1 ve 0.5

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Tepe c'de; 0.5 noktaları c ± b/2 = 8 ve 12; sıfır noktaları c ± b = 6 ve 14.

b = 4, c = 10. u = 10 tepe noktasıdır: 1. u = 8 = c − b/2 noktası 0.5'tir.

u = 13 ≥ c için: 1 − S(13; 10, 12, 14). 12 ≤ 13 ≤ 14 olduğundan S = 1 − 2[(13−14)/4]² = 0.875, sonuç 1 − 0.875 = 0.125.

Kaynak: H3–4 s.34

Y-20

f(x) = 1 / (1 + (x − 5)²) üyelik fonksiyonunun geçiş noktaları hangisidir?

a)Yalnızca x = 5
b)x = 3 ve x = 7
c)x = 4.5 ve x = 5.5
d)Geçiş noktası yoktur
e)x = 4 ve x = 6

Çözümü göster

Doğru cevap: e

Geçiş noktasında μ = 0.5: 1/(1 + (x−5)²) = 0.5 ise (x−5)² = 1, yani x = 4 veya x = 6. x = 5 ise tepe noktasıdır.

Kaynak: H3–4 s.31, s.37

Y-21

Yanda "oda sıcaklığı" uzayında üç bulanık küme verilmiştir. 17 °C hangi sözel ifadelerle ve hangi üyelik dereceleriyle temsil edilir?

a)Soğuk – 0.3, Ilık – 0.7
b)Soğuk – 0.7, Ilık – 0.3
c)Sadece Ilık – 1
d)Ilık – 0.7, Sıcak – 0.3
e)Soğuk – 0.5, Ilık – 0.5

Çözümü göster

Doğru cevap: a

17 °C'de Ilık 0.7 (yükselen kenar), Soğuk 0.3 (inen kenar).

Soğuk 10'dan 20'ye iner: (20−17)/10 = 0.3. Ilık (10, 20, 30) üçgenidir: (17−10)/10 = 0.7. Sıcak 20'den sonra başladığı için 0'dır.

Kaynak: H3–4 s.33

Y-22

Önceki sorudaki şekle göre "Ilık" bulanık kümesinin üyelik fonksiyonu hangisidir?

a)μ_Ilık(T) = (T−10)/2010 ≤ T < 20(30−T)/2020 ≤ T ≤ 30
b)μ_Ilık(T) = (T−10)/1010 ≤ T < 20(30−T)/1020 ≤ T ≤ 30
c)μ_Ilık(T) = T/2010 ≤ T < 20(30−T)/2020 ≤ T ≤ 30
d)μ_Ilık(T) = (20−T)/1010 ≤ T < 20(T−20)/1020 ≤ T ≤ 30
e)μ_Ilık(T) = (T−20)/1010 ≤ T < 20(T−30)/1020 ≤ T ≤ 30

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Ayraçlar her kenarın geçerli olduğu aralığı ve formülünü gösterir.

a = 10, b = 20, c = 30 olan üçgen. Kontrol: T = 10 için 0, T = 20 için 1, T = 30 için 0. Bu üç değeri yalnızca doğru şık sağlar.

Kaynak: H3–4 s.33

Y-23

A = 0.2/1 + 0.5/2 + 0.8/3 + 1/4 + 0.5/5 + 0/6 bulanık kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)Geçiş noktaları 2 ve 5'tir.
b)0.5-kesim kümesi {3, 4}'tür.
c)Yüksekliği 1 olduğu için normal bir kümedir.
d)Çekirdeği {4}'tür.
e)Destek kümesi {1, 2, 3, 4, 5}'tir.

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Kesikli çizgi α = 0.5. Çizginin üstünde ya da üzerinde olanlar (halkalı): {2, 3, 4, 5}.

α-kesim μ ≥ α ile tanımlıdır, üyeliği tam 0.5 olanlar da dahildir: {2, 3, 4, 5}.

Kaynak: H3–4 s.37–39

Y-24

A = 0.1/1 + 0.3/2 + 0.6/3 + 0.4/4 kümesi normalize edildiğinde hangi küme elde edilir?

a)0.1/1 + 0.3/2 + 1/3 + 0.4/4
b)0.5/1 + 0.7/2 + 1/3 + 0.8/4
c)0.17/1 + 0.5/2 + 1/3 + 0.67/4
d)0.9/1 + 0.7/2 + 0.4/3 + 0.6/4
e)0.07/1 + 0.21/2 + 0.43/3 + 0.29/4

Çözümü göster

Doğru cevap: c

ANORM(A)

Bütün noktalar aynı oranda (1/0.6) yukarı taşınır; tepe 1 olur.

Bütün üyelikler en büyük üyeliğe (0.6) bölünür: 0.1/0.6 = 0.17, 0.3/0.6 = 0.5, 0.6/0.6 = 1, 0.4/0.6 = 0.67.

Kaynak: H3–4 s.38

Y-25

U = {1, 2, …, 9} evreninde B = 0.7/5 bulanık kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a)B'nin destek kümesi boştur.
b)B normal bir bulanık kümedir.
c)B bir bulanık tekliktir, fakat normal değildir.
d)B'nin yüksekliği 1'dir.
e)B'nin çekirdeği {5}'tir.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Destek tek nokta, ama hiçbir eleman 1'e ulaşmıyor: çekirdek boş.

Destek kümesi tek noktadır: {5}, yani bulanık tekliktir. Yükseklik 0.7 olduğundan normal değildir ve üyeliği 1 olan eleman bulunmadığı için çekirdek boştur.

Kaynak: H3–4 s.37, s.39

Y-26

Ü(u; 2, 6, 10) üçgen üyelik fonksiyonunun α = 0.75 için α-kesim kümesi hangisidir?

a)2 ≤ u ≤ 10
b)3 ≤ u ≤ 9
c)4 ≤ u ≤ 8
d)5 ≤ u ≤ 7
e)u = 6

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Kalın aralık: μ ≥ 0.75 olan u değerleri.

(u−2)/4 ≥ 0.75 ise u ≥ 5. (10−u)/4 ≥ 0.75 ise u ≤ 7. Sonuç 5 ≤ u ≤ 7.

Kaynak: H3–4 s.38

Hafta 3–4: Küme işlemleri

Y-27

μ_A(x) = 0.4 olan bir x elemanı için μ_A∪A(x) ve μ_A∩A(x) değerleri sırasıyla nedir?

a)0.4 ve 0.6
b)0.4 ve 0.4
c)0.6 ve 0.4
d)1 ve 0
e)0.6 ve 0.6

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Birleşim büyüğü (0.6), kesişim küçüğü (0.4) alır; ne 1 ne 0.

μ_A(x) = 0.6. max(0.4, 0.6) = 0.6 ve min(0.4, 0.6) = 0.4. Sonuçlar 1 ve 0 olmadığı için Aristotelian kanunlar burada sağlanmaz.

Kaynak: H3–4 s.54–56, s.59

Y-28

A ∪ A = U ve A ∩ A = ∅ eşitlikleri bir A kümesi için hangi durumda sağlanır?

a)Hiçbir kümede
b)Yalnızca normal bulanık kümelerde
c)Bütün bulanık kümelerde
d)Yüksekliği 0.5 olan kümelerde
e)Üyelik dereceleri yalnızca 0 veya 1 olan (keskin) kümelerde

Çözümü göster

Doğru cevap: e

Keskin: A ve tümleyeni çakışmaz, her yeri kaplar

Bulanık A ∪ A ≠ U

Bulanık A ∩ A ≠ ∅

max(μ, 1−μ) = 1 ancak μ = 0 veya μ = 1 ise olur. Bu kanunlar keskin kümelerde geçerli, bulanık kümelerde geçersizdir.

Kaynak: H3–4 s.48, s.59

Y-29

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) eşitliği aşağıdaki özelliklerden hangisini ifade eder?

a)Değişme
b)Birleşme
c)Dağılma
d)De Morgan
e)Ayrıcalıklı orta

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Kesişim, birleşim üzerine dağılır: dağılma özelliği.

Kaynak: H3–4 s.50

Y-30

A = 0.2/1 + 0.7/2 + 1/3 ve B = 0.5/1 + 0.4/2 + 0.6/3 olsun. A ∪ B kümesinin tümleyeni hangisidir?

a)0.5/1 + 0.7/2 + 1/3
b)0.5/1 + 0.3/2 + 0/3
c)0.8/1 + 0.6/2 + 0.4/3
d)0.8/1 + 0.3/2 + 0/3
e)0.2/1 + 0.4/2 + 0.6/3

Çözümü göster

Doğru cevap: b

ABA ∪ B

1. adım: A ∪ B (max)

μ1 − μ

2. adım: 1 − μ

A∪B = 0.5/1 + 0.7/2 + 1/3, tümleyeni 0.5/1 + 0.3/2 + 0/3. De Morgan ile kontrol: A ∩ B = min(0.8, 0.5), min(0.3, 0.6), min(0, 0.4) = 0.5, 0.3, 0. Aynı sonuç çıkar.

Kaynak: H3–4 s.49, s.54–56

Y-31

A = 0.2/1 + 0.6/2 + 0.8/3 ve B = 0.3/1 + 0.6/2 + 0.7/3 kümeleri karşılaştırıldığında hangisi doğrudur?

a)A = B
b)A ⊆ B
c)B ⊆ A
d)Ne A ⊆ B ne de B ⊆ A sağlanır.
e)A ∪ B = A

Çözümü göster

Doğru cevap: d

1'de A altta, 3'te A üstte: noktalar yer değiştiriyor.

x = 1'de μ_A < μ_B, x = 3'te μ_A > μ_B. Kapsama bütün elemanlarda aynı yönde olmalıdır. A∪B = 0.3/1 + 0.6/2 + 0.8/3, bu da A'ya eşit değildir.

Kaynak: H3–4 s.52–53

Y-32

A = 0.2/a + 0.9/b + 0.5/c + 0/d ve B = 0.6/a + 0.3/b + 0.5/c + 0.7/d olsun. A ∪ B kümesi hangisidir?

a)0.6/a + 0.9/b + 0.5/c + 0.7/d
b)0.2/a + 0.3/b + 0.5/c + 0/d
c)0.8/a + 0.3/b + 0.5/c + 1/d
d)0.4/a + 0.1/b + 0.5/c + 0.3/d
e)0.6/a + 0.1/b + 0.5/c + 0.7/d

Çözümü göster

Doğru cevap: c

ABA ∪ B

A = 0.8/a + 0.1/b + 0.5/c + 1/d. Sonra B ile max: max(0.8, 0.6) = 0.8, max(0.1, 0.3) = 0.3, max(0.5, 0.5) = 0.5, max(1, 0.7) = 1.

Kaynak: H3–4 s.54, s.56

Y-33

A = 0.25/1 + 0.64/2 + 1/3 kümesi için genişleme (DIL) işleminin sonucu hangisidir?

a)0.125/1 + 0.32/2 + 0.5/3
b)0.75/1 + 0.36/2 + 0/3
c)0.5/1 + 0.8/2 + 1/3
d)0.063/1 + 0.41/2 + 1/3
e)0.125/1 + 0.74/2 + 1/3

Çözümü göster

Doğru cevap: c

ADIL(A)

Düşük üyelik daha çok artar: 0.25 → 0.5, 0.64 → 0.8.

DIL = μ^0.5: √0.25 = 0.5, √0.64 = 0.8, √1 = 1. Düşük üyelikler daha çok artar.

Kaynak: H3–4 s.62

Y-34

μ = 0.3 ve μ = 0.8 üyelik değerlerine yoğunlaşma (INT) işlemi uygulanırsa sonuçlar sırasıyla ne olur?

a)0.55 ve 0.89
b)0.09 ve 0.64
c)0.18 ve 0.92
d)0.6 ve 1
e)0.82 ve 0.08

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Kesikli çizgi μ'nün kendisi. 0.5'in altı aşağı, üstü yukarı çekilir.

μ = 0.3 ≤ 0.5: 2(0.3)² = 0.18
μ = 0.8 ≥ 0.5: 1 − 2(1−0.8)² = 1 − 0.08 = 0.92

0.5'in altı azaldı, üstü arttı: Küme keskinleşti.

Kaynak: H3–4 s.63

Y-35

Yoğunlaşma (INT) işleminden sonra değeri değişmeyen üyelik dereceleri hangileridir?

a)Yalnızca 0 ve 1
b)Yalnızca 0.5
c)0, 0.5 ve 1
d)[0, 1] aralığındaki bütün değerler
e)Hiçbiri

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Eğri kesikli çizgiyi yalnızca 0, 0.5 ve 1'de keser.

2μ² = μ denkleminden μ = 0 ve μ = 0.5, 1−2(1−μ)² = μ denkleminden μ = 0.5 ve μ = 1 çıkar.

Kaynak: H3–4 s.63

Y-36

Üyelik fonksiyonunu değiştiren işlemlerle ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)Derişme (CON) daha yüksek üyelik dereceli elemanları vurgular.
b)p = 2 için kuvvet işlemi derişme, p = 0.5 için genişleme ile aynıdır.
c)Derişme (CON) işlemi 0 ile 1 arasındaki üyelik değerlerini artırır.
d)Yoğunlaşma (INT) bulanık kümeyi keskin küme olmaya yakınlaştırır.
e)Genişleme (DIL) daha düşük dereceli elemanların önemini artırır.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

μ = 0.6: CON 0.36'ya düşer, DIL 0.775'e çıkar.

0 < μ < 1 için μ² < μ olduğundan CON değerleri azaltır. Yüksek üyelikler görece daha az azaldığı için vurgulanmış olur.

Kaynak: H3–4 s.60–63

Y-37

μ_A(u) = 0.6 ve μ_B(u) = 0.7 için sınırlı çarpım ve cebirsel toplam sonuçları sırasıyla nedir?

a)0.3 ve 0.88
b)0.6 ve 0.7
c)0.42 ve 0.88
d)0 ve 1
e)0.42 ve 1

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Güçlü çarpım0

Sınırlı çarpım0.3

Cebirsel çarpım0.42

min0.6

max0.7

Cebirsel toplam0.88

Sınırlı toplam1

Güçlü toplam1

Sınırlı çarpım: max(0, 0.6 + 0.7 − 1) = 0.3
Cebirsel toplam: 0.6 + 0.7 − 0.6·0.7 = 1.3 − 0.42 = 0.88

Kaynak: H3–4 s.66, s.69

Y-38

μ_A(u) = 0.9 ve μ_B(u) = 0.8 için güçlü çarpım ve güçlü toplam sonuçları sırasıyla nedir?

a)0.72 ve 0.98
b)1 ve 0
c)0.8 ve 0.9
d)0 ve 1
e)0.7 ve 1

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Güçlü çarpım0

Sınırlı çarpım0.7

Cebirsel çarpım0.72

min0.8

max0.9

Cebirsel toplam0.98

Sınırlı toplam1

Güçlü toplam1

Güçlü çarpımda iki üyelik de 1'den küçükse sonuç 0'dır. Güçlü toplamda iki üyelik de 0'dan büyükse sonuç 1'dir.

Kaynak: H3–4 s.68, s.70

Y-39

μ_A(u) = 0.5 ve μ_B(u) = 0.8 için aşağıdaki t-norm sonuçlarının küçükten büyüğe sıralanışı hangisidir?

a)sınırlı çarpım < güçlü çarpım < min < cebirsel çarpım
b)güçlü çarpım < cebirsel çarpım < sınırlı çarpım < min
c)min < cebirsel çarpım < sınırlı çarpım < güçlü çarpım
d)cebirsel çarpım < min < güçlü çarpım < sınırlı çarpım
e)güçlü çarpım < sınırlı çarpım < cebirsel çarpım < min

Çözümü göster

Doğru cevap: e

Güçlü çarpım0

Sınırlı çarpım0.3

Cebirsel çarpım0.4

min0.5

Değerler: güçlü çarpım 0, sınırlı çarpım 0.3, cebirsel çarpım 0.4, min 0.5.

Kaynak: H3–4 s.55, s.66, s.69–70

Y-40

Bulanık kümelerin mühendislik uygulamalarında kullanılan operatörler (kesişme / birleşme / tümleme) hangi seçenekte doğru verilmiştir?

a)max / min / 1−μ
b)güçlü çarpım / güçlü toplam / 1/μ
c)min / cebirsel çarpım / 1−μ
d)min veya cebirsel çarpım / max / 1−μ
e)sınırlı toplam / güçlü çarpım / μ²

Çözümü göster

Doğru cevap: d

t-norm: kesişme (VE)

Güçlü çarpımSınırlı çarpımCebirsel çarpımmin

t-conorm: birleşme (VEYA)

maxCebirsel toplamSınırlı toplamGüçlü toplam

Notlardaki liste: Kesişme için min veya cebirsel çarpım t-norm'u, birleşme için max t-conorm'u, tümleme için 1−μ.

Kaynak: H3–4 s.71

Hafta 5–6: İlişkiler ve bileşimler (s.1–35)

Y-41

A = {a1, a2, a3, a4} ve B = {b1, b2, b3, b4, b5} keskin kümeleri veriliyor. A×B kartezyen çarpımının eleman sayısı ve A'dan B'ye tanımlı bir R ilişkisinin matris boyutu nedir?

a)45 eleman, 4×5 matris
b)9 eleman, 4×5 matris
c)20 eleman, 5×4 matris
d)20 eleman, 4×5 matris
e)9 eleman, 5×4 matris

Çözümü göster

Doğru cevap: d

4 satır × 5 sütun = 20 sıralı çift.

|A×B| = 4·5 = 20. Satırlar A'nın, sütunlar B'nin elemanlarıdır: 4×5.

Kaynak: H5–6 s.3, s.17

Y-42

Keskin ve bulanık ilişkilerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a)Bulanık ilişki, ilişkinin varlık ya da yokluk derecesini temsil eder.
b)Keskin ilişkide üyelik değeri 0 veya 1'dir.
c)n'inci dereceden bir bulanık ilişki, U₁×…×U_n kartezyen çarpımının keskin alt kümesidir.
d)Keskin ilişki, elemanlar arasındaki ilişkinin varlığını ya da yokluğunu temsil eder.
e)Bulanık ilişki R(U,V), U×V çarpım uzayında bir bulanık kümedir.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

n'inci dereceden bulanık ilişki, kartezyen çarpımın bulanık alt kümesidir.

Kaynak: H5–6 s.4, s.13–15

Y-43

U = {x1: zamanla değişen sistemler, x2: zamanla değişmeyen sistemler} ve V = {y1: kutuplar sol yarı düzlemde, y2: kutuplar jω ekseninde, y3: kutuplar sağ yarı düzlemde} olsun. Kararlılık ilişkisi R(U,V)'nin matrisi hangisidir?

a)
y1 y2 y3
x1 0 0 1
x2 1 1 0
b)
y1 y2 y3
x1 0 0 0
x2 0 1 1
c)
y1 y2 y3
x1 1 1 0
x2 0 0 0
d)
y1 y2 y3
x1 1 1 1
x2 1 1 0
e)
y1 y2 y3
x1 0 0 0
x2 1 1 0

	y1	y2	y3
x1	0	0	1
x2	1	1	0

	y1	y2	y3
x1	1	1	0
x2	0	0	0

	y1	y2	y3
x1	1	1	1
x2	1	1	0

Çözümü göster

Doğru cevap: e

Doğru matris

	y1	y2	y3
x1	0	0	0
x2	1	1	0

Yalnızca zamanla değişmeyen (x2) ve kutupları sol yarı düzlemde ya da jω ekseninde olan sistemler kararlı kabul edilir: (x2, y1) ve (x2, y2) 1, diğerleri 0.

Kaynak: H5–6 s.10–12

Y-44

"Hedef x hedef y'ye yakın" ilişkisi μ_YAKIN(|x−y|) = max[(5−|x−y|)/5, 0] ile veriliyor. (x=7, y=4) ve (x=2, y=9) çiftleri için üyelik dereceleri sırasıyla nedir?

a)0.6 ve 0
b)0.4 ve 0
c)0.2 ve 0
d)0.4 ve −0.4
e)0.6 ve 0.4

Çözümü göster

Doğru cevap: b

Uzaklık 5 ve üstünde üyelik 0.

|7−4| = 3: (5−3)/5 = 0.4
|2−9| = 7: (5−7)/5 = −0.4, max ile 0

max işlemi üyeliğin negatif olmasını engeller.

Kaynak: H5–6 s.18

Y-45

Aynı çarpım uzayında aşağıdaki R ve S bulanık ilişkileri veriliyor.

R =

0.2	0.7
0.9	0.4

S =

0.5	0.3
0.6	0.8

R ∩ S (min ile) hangisidir?

a)
0.8 0.3
0.6 0.8
b)
0.2 0.3
0.6 0.4
c)
0.5 0.7
0.9 0.8
d)
0.5 0.3
0.1 0.6
e)
0.1 0.21
0.54 0.32

Çözümü göster

Doğru cevap: d

0.8	0.3
0.1	0.6

min

0.5	0.3
0.6	0.8

Sonuç

0.5	0.3
0.1	0.6

Önce tümleyen: R =

0.8	0.3
0.1	0.6

. Sonra S ile hücre hücre min alınır.

Kaynak: H5–6 s.22

Y-46

U = {x1, x2}, V = {y1, y2, y3} olsun. "x y'den daha büyüktür" ve "y x'e çok yakındır" ilişkileri aşağıda verilmiştir.

μ_DB(x,y) =

	y1	y2	y3
x1	0.9	0.3	0.6
x2	0.2	0.8	0.5

μ_ÇY(y,x) =

	x1	x2
y1	0.4	0.7
y2	0.6	0.1
y3	0.5	0.9

"x y'den daha büyüktür ve y x'e çok yakındır" cümlesinin üyelik matrisi (min t-normu ile) hangisidir?

a)
0.36 0.18 0.3
0.14 0.08 0.45
b)
0.3 0 0.1
0 0 0.4
c)
0.4 0.3 0.5
0.2 0.1 0.5
d)
0.7 0.1 0.6
0.2 0.6 0.5
e)
0.9 0.6 0.6
0.7 0.8 0.9

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Önce μ_ÇY(y,x) çevrilir (satırlar x olur), sonra hücre hücre min.

μ_DB(x,y)

	y1	y2	y3
x1	0.9	0.3	0.6
x2	0.2	0.8	0.5

min

μ_ÇY çevrilmiş

	y1	y2	y3
x1	0.4	0.6	0.5
x2	0.7	0.1	0.9

Sonuç

	y1	y2	y3
x1	0.4	0.3	0.5
x2	0.2	0.1	0.5

Dikkat: μ_ÇY(y,x) matrisinde satırlar y, sütunlar x'tir. μ(x_i, y_j) = min[μ_DB(x_i, y_j), μ_ÇY(y_j, x_i)].

x1: min(0.9, 0.4) = 0.4, min(0.3, 0.6) = 0.3, min(0.6, 0.5) = 0.5
x2: min(0.2, 0.7) = 0.2, min(0.8, 0.1) = 0.1, min(0.5, 0.9) = 0.5

Kaynak: H5–6 s.23–25

Y-47

Aşağıdaki keskin ilişkiler veriliyor.

R1(U,V) =

1	0	1
0	1	0

R2(V,W) =

0	1
1	1
0	0

R3(U,W) = R1 ∘ R2 hangisidir?

a)
1 1
1 1
b)
0 1
0 1
c)
0 0
1 1
d)
1 1
0 1
e)
0 1
1 1

Çözümü göster

Doğru cevap: e

x2 → y2 yolu hem z1'e hem z2'ye çıkar.

R3 = R1 ∘ R2

	z1	z2
x1	0	1
x2	1	1

(x, z) ∈ R3 ancak ve ancak aralarında bir y üzerinden yol varsa.

x1 → y1 ve y3. y1 → z2, y3 → hiçbiri. Satır: [0 1]
x2 → y2. y2 → z1, z2. Satır: [1 1]

Kaynak: H5–6 s.26–33

Y-48

Aşağıdaki bulanık ilişkiler veriliyor.

P(U,V) =

0.3	0.8
0.6	0.5

Q(V,W) =

0.7	0.2	0.4
0.9	0.6	0.1

R(U,W) = P ∘ Q (max-min bileşimi) hangisidir?

a)
0.93 0.54 0.2
0.87 0.42 0.29
b)
0.9 0.8 0.8
0.9 0.6 0.6
c)
0.8 0.6 0.3
0.6 0.5 0.4
d)
0.7 0.3 0.4
0.7 0.6 0.5
e)
0.72 0.48 0.12
0.45 0.3 0.24

Çözümü göster

Doğru cevap: c

Her hücrede iki yolun min değeri yazılı; vurgulu olan büyüğü (max).

	w1	w2	w3
u1	0.30.8	0.20.6	0.30.1
u2	0.60.5	0.20.5	0.40.1

R11 = max[min(0.3, 0.7), min(0.8, 0.9)] = max(0.3, 0.8) = 0.8
R12 = max[min(0.3, 0.2), min(0.8, 0.6)] = max(0.2, 0.6) = 0.6
R13 = max[min(0.3, 0.4), min(0.8, 0.1)] = max(0.3, 0.1) = 0.3
R21 = max[min(0.6, 0.7), min(0.5, 0.9)] = max(0.6, 0.5) = 0.6
R22 = max[min(0.6, 0.2), min(0.5, 0.6)] = max(0.2, 0.5) = 0.5
R23 = max[min(0.6, 0.4), min(0.5, 0.1)] = max(0.4, 0.1) = 0.4

Kaynak: H5–6 s.29, s.32, s.35

Y-49

x elemanından z elemanına iki yol vardır: x —0.6→ y1 —0.8→ z ve x —0.9→ y2 —0.3→ z. μ(x, z) değeri max-min ve max-çarpım bileşimleriyle sırasıyla kaçtır?

a)0.6 ve 0.6
b)0.8 ve 0.48
c)0.9 ve 0.72
d)0.3 ve 0.27
e)0.6 ve 0.48

Çözümü göster

Doğru cevap: e

max-min: 0.6

max-çarpım: 0.48

Max-min: max[min(0.6, 0.8), min(0.9, 0.3)] = max(0.6, 0.3) = 0.6
Max-çarpım: max[0.6·0.8, 0.9·0.3] = max(0.48, 0.27) = 0.48

Kaynak: H5–6 s.29

Y-50

Aynı P ve Q bulanık ilişkileri için R1 max-min, R2 max-çarpım bileşimi olsun. Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

a)R1 = R2
b)R2 ⊆ R1 (bütün elemanlarda μ_R2 ≤ μ_R1)
c)R1 ⊆ R2
d)R1 ve R2 hiçbir zaman karşılaştırılamaz
e)R2, R1'in tümleyenidir

Çözümü göster

Doğru cevap: b

b = 0.6 için: a·b çizgisi hiçbir yerde min(a, b) çizgisinin üstüne çıkmaz.

a, b ∈ [0, 1] için a·b ≤ min(a, b). Her terim küçük ya da eşit olduğundan terimlerin max'ı da küçük ya da eşittir.

Kaynak: H5–6 s.29 (tanımlardan çıkarım)

Y-51

Elemanları yalnızca 0 ve 1 olan P ve Q ilişkileri için max-min ve max-çarpım bileşimleri karşılaştırıldığında hangisi doğrudur?

a)Max-min her zaman birim matris verir.
b)Max-çarpım her zaman sıfır matrisi verir.
c)İkisi de aynı ilişkisel matrisi verir.
d)Max-min keskin ilişkilerde kullanılamaz.
e)Sonuçlar birbirinin tümleyenidir.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

a	b	min(a, b)	a·b
0	0	0	0
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	1	1

0 ve 1 için min(a, b) = a·b olduğundan iki yöntem aynı sonucu verir. Notlardaki s.30 ve s.31 örnekleri de aynı değeri bulur.

Kaynak: H5–6 s.29–33

Y-52

μ_R∘S(x, z) = sup_y∈V[μ_R(x, y) ★ μ_S(y, z)] bileşimi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)En çok kullanılan biçimleri sup-min ve sup-çarpımdır.
b)R ve S ilişkileri ortak V kümesini paylaşır.
c)★ yerine max yazılırsa da sup-star bileşimi elde edilir.
d)U, V ve W ayrık evrensel kümeler olduğunda sup işlemi max'tır.
e)★ herhangi bir t-norm işlemini gösterir.

Çözümü göster

Doğru cevap: c

t-norm: kesişme (VE)

Güçlü çarpımSınırlı çarpımCebirsel çarpımmin

t-conorm: birleşme (VEYA)

maxCebirsel toplamSınırlı toplamGüçlü toplam

★ bir t-norm olmalıdır. max ise t-conorm'dur.

Kaynak: H5–6 s.34–35

Y-53

Max-min bileşimi matris çarpımına benzetilerek hesaplanırken çarpma ve toplama işlemleri sırasıyla hangi işlemler gibi ele alınır?

a)max ve cebirsel toplam
b)min ve cebirsel toplam
c)max ve min
d)min ve max
e)cebirsel çarpım ve max

Çözümü göster

Doğru cevap: d

Kestirme yol: Her çarpma min, her toplama max olarak alınır. Max-çarpımda ise çarpma cebirsel çarpım olarak kalır.

Kaynak: H5–6 s.32–33

Y-54

|U| = 3, |V| = 4 ve |W| = 2 olmak üzere P(U,V) ∘ Q(V,W) bileşimi sonucunda oluşan R(U,W) matrisinin boyutu nedir?

a)3×2
b)2×3
c)3×4
d)4×2
e)4×4

Çözümü göster

Doğru cevap: a

Ortak V boyutu (4) içeride kaybolur.

Ortak küme V elenir. Satırlar U'dan (3), sütunlar W'dan (2) gelir.

Kaynak: H5–6 s.26

Cevap anahtarını göster

1-d 2-e 3-c 4-c 5-a 6-c 7-a 8-b 9-d 10-b 11-c 12-b 13-d 14-b 15-d 16-d 17-a 18-b 19-d 20-e 21-a 22-b 23-b 24-c 25-c 26-d 27-c 28-e 29-c 30-b 31-d 32-c 33-c 34-c 35-c 36-c 37-a 38-d 39-e 40-d 41-d 42-c 43-e 44-b 45-d 46-c 47-e 48-c 49-e 50-b 51-c 52-c 53-d 54-a

0.54	0.36	0.18
0.63	0.64	0.40

0.56	0.54	0.28
0.71	0.96	0.61